Криволинейный интеграл по эллипсу

[caxap]

Найти $\int_C xy\,ds$, где $C$ -- четверть эллипса $\frac {x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, лежащая в первой четверти.

Я параметризовал кривую так: $x=a\cos t$, $y=b\sin t$, $t\in[0,\pi/2]$. Но получился страшный интеграл

$$I=\int_0^{\pi/2} ab \cos t \sin t \sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t}.$$

Всё портит $a\neq b$, иначе бы всё упростилось и корень ушёл...

Есть ли более простой способ?

[paha]

примите косинус двойного угла за новую переменную

[Joker_vD]

(Оффтоп)

caxap
Куда вы дели $dt$? Мой преподаватель по матану после этого никогда выше четверки не ставил.

paha
А что от этого изменится?

[caxap]

paha

$$-\frac {ab}4 \int_0^{t=\pi/2} \sqrt {a^2\sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,d (\cos 2t)$$

Корень не получается убрать.

А можно как-нибудь сжать/растянуть координатную ось, чтобы эллипс стал окружностью?

[Алексей К.]

Joker_vD в сообщении #369697 писал(а):

А что от этого изменится?

Как бы интеграл от этого легко возьмётся. Мне так показалось.

-- 03 ноя 2010, 21:49 --

caxap,
а давайте под радикалом тоже к двойному углу перейдём. Это же просто. И глянем, чо там получается.

[paha]

caxap в сообщении #369709 писал(а):

Корень не получается убрать

и не надо)))

[Алексей К.]

А потом заменим $\cos 2t$ на какой-нибудь $z$. Или $w$. Или даже $\xi$. Чую, к успеху приведёт. Мне больше других буковок нравится $\xi$.

[Hymilev]

В декартовой проще без параметризации

[Утундрий]

А еще можно замкнуть контур двумя палочками (интеграл по ним берется просто) и перейти к интегрированию по площади... Но проще всего - вспомнить, что эллипс есть сплюснутая окружность...

[Hymilev]

Утундрий в сообщении #369729 писал(а):

А еще можно замкнуть контур двумя палочками (интеграл по ним берется просто) и перейти к интегрированию по площади

Как? расскажите поподробнее я думал что с интегралами первого рода так нельзя

[paha]

Бог мой, ну зачем тут такая пушка как формула Стокса?

[Утундрий]

Hymilev в сообщении #369732 писал(а):

я думал что с интегралами первого рода так нельзя

В двумерии можно: там нормаль через касательную однозначно выражается.

[caxap]

Спасибо, разобрался.

Утундрий в сообщении #369729 писал(а):

А еще можно вспомнить, что эллипс есть сплюснутая окружность...

Это я знаю, но как это применить можно?

[Утундрий]

caxap в сообщении #369741 писал(а):

как это применить можно?

Посчитать для окружности, а потом посмотреть во что переходит интеграл при растяжении одной из осей ДСК.

-- Ср ноя 03, 2010 23:34:07 --

А хотя, виноват, ерунду посоветовал. Если бы все было так просто, то и никаких эллиптических интегралов не нужно было бы изобретать...
Так что способ сплющивания вычеркиваем.

[caxap]

Утундрий в сообщении #369729 писал(а):

А еще можно замкнуть контур двумя палочками (интеграл по ним берется просто) и перейти к интегрированию по площади...

По палокам будет 0 (на осях $xy=0$). Я так понял вы предлагаете заменить интеграл по замкнутому контуру интегралом от ротора по площади? Но ведь ротор берётся от веторного поля, а тут $xy$ -- скаляр.