Верещагин, Шень. Задача 122: |A^A|=|2^A|

[caxap]

Докажите, что $|A^A|=|2^A|$, где $A$ -- бесконечное множество.

Известна теорема, что для бесконечных мощностей $a,b$: $a+b=a\times b=\max\{a,b\}$. Но что-то не получается её применить. Подскажите, пожалуйста, куда думать? Может теорема Кантора-Бернштейна (с ней могу доказать $2^{\aleph_0}=\aleph_0^{\aleph_0}$, но тут используется знания о $\mathfrak{c}$)?

[Хорхе]

Ну именно эту "изветсную теорему" и надо применить. Ведь функции из $A$ в $A$ -- это подмножества...

[caxap]

Множества -- это отношения. Каждой функции $A\to A$ соответствует подмножество $A\times A$. Нам нужно найти мощность всех функций $A\to A$, т. е. мощность множества всех подмножеств $A\times A$, т. е. $|\mathcal P(A\times A)|=|2^{A\times A}|=|2^{A}|$. Так?

[Хорхе]

Так! (Впрочем, функции - это не все подмножества $2^{A\times A}$, но это не страшно.)

[caxap]

Спасибо, Хорхе, ещё раз.

[Cave]

Можно и не думая о том, кто такие функции: $2\leqslant A\leqslant 2^A$ возвести в степень $A$. Собственно, то же самое решение.

[caxap]

Cave
Круто!