idЯсно. Спасибо. (А что такое

? Линейные пространства?)
Помогите, пожалуйста, доказать всё это. Мои попытки:
(инъекция = мономорфизм)

Рассмотрим мономорфизм

и два произвольных элемента

.

и

можно отождествить с константными функциями. Тогда

(сокращаем слева). А значит

, т. е.

-- инъекция.

Пусть

-- инъекция, тогда

, что равносильно сокращению на

, значит

-- мономорфизм.
(инъекция = сечение)

Пусть

-- инъекция, т. е. переводит разные элементы в разные. Каждому такому отображению элемента

сопоставим отображение

. Совокупность таких отображений

и будет левой обратной функцией, т. к.

.


-- сечение, т. е. имеет левую обратную функцию

. Но чтобы

была обратной для

,

не должна "склеивать" точки, т. е. должна быть инъекцией. (Тут строго я не знаю как показать, но интуитивно вроде понимаю

)
(сюръекция = эпиморфизм)
Вот тут я не соображу

(сюръекция = ретракция)

Пусть

-- сюръекция, значит несколько элементов из

могут переходить в один элемент из

. Для каждого элемента из

выберем (неважно как) только одно отображение некоторого элемента из

в него (т. е. уберём все "склеивания"). Получим функцию

, которая будет уже биекцией, поэтому будет существовать правая обратная функция

такая, что

.

Пусть

-- правая обратная функция для

. Она определена на всем

, т. е. функция

будет отображением "на", или сюръекцией.
P. S. Такая путаница с этими -екциями и -измами. Нет ли какого-нибудь мнемонического правила, чтобы всё это запомнить? (Да ещё слова какие-то не самоописательные, ну инъекция-то ещё ладно, а вот сюръекция (что за "сюр"?), мономорфизм (почему "моно", что там 1?), эпиморфизм (эпи?)...)