Изоморфизм X и C(ball X*), функан

[id]

Известно, что единичный шарик в $X^*$ для нормированного $X$ будет слабо-* компактен.

Интересует утверждение о том, что $X$ изометрически изоморфно замкнутому подпространству в $C(ball X^*)$, где $ball X^*$ - замкнутый единичный шарик в $X^*$ в слабой-* топологии (который компактен по замечанию выше). Далее $I$ - требуемый изометрический изоморфизм.

То есть понятно, что в качестве функций на $ball X^*$ нужно брать означивание $(Ix) (f) = f(x), \ x \in X, f \in ball X^*$.

Но как показать, что $\mathrm {Im} \ I$ будет замкнутым подпространством? Да, предельная точка тоже будет действовать на $ball X^*$ линейно по непрерывности, но это не доказывает требуемого.

[moscwicz]

а $I$ ни компактно ли часом? по теореме Арцела-Асколи

[id]

$X$ не обязано быть сепарабельным, а значит и метризуемость $ball \ X^*$ не обязана присутствовать. А значит и теорема Асколи сюда не применится.

Кстати, если бы $I$ был компактен, то это бы тоже не говорило требуемого, по-моему. При компактном операторе образ не обязан быть замкнут вроде бы, ну за исключением случая гильбертова пространства.

[moscwicz]

id в сообщении #368821 писал(а):

$X$ не обязано быть сепарабельным, а значит и метризуемость $ball \ X^*$ не обязана присутствовать. А значит и теорема Асколи сюда не применится.

Вообще-то я о другом говорил. А сейчас мне вот, что непонятно: если пространство $X$ банахово, то утверждение очевидно, если не банахово, то как не банахово пространство может быть

id в сообщении #368783 писал(а):

изометрически изоморфно замкнутому подпространству в $C(ball X^*)$

т.е. банахову пространству (ибо замкнутое подпространство банахова пространство само банахово пр-во)

[id]

$X$ банахово, да.
Кстати, я про это похоже забыл. С этим замкнутость образа и в самом деле очевидна, достаточно последовательность Коши в нем рассмотреть.

Спасибо!