Помещу-ка я на всякий случай доказательство сделанных мною выше утверждений (вдруг кому-нибудь захочется их как-то прокомментировать и/или дополнить).
1. Если числа
и
удовлетворяют условию задачи, то система уравнений Лича

где
, разрешима в натуральных числах
,
,
,
. Действительно, если

(

,

--- из моего решения), то можно взять

Такие числа

довольно редки; так, в пределах первой тысячи их имеется всего шесть: это

,

,

,

,

,

.
2. Если числа
и
удовлетворяют условию задачи, то либо
, либо
. Заметим, что в первоначальном виде задача эквивалентна следующему предложению:
если
и
--- натуральные числа, не являющиеся точными квадратами, то уравнения

не могут быть одновременно разрешимыми. Легко видеть, что в теперешнем виде задача эквивалентна усиленной версии этого предложения --- без ограничения "
не являющиеся точными квадратами". Ясно, что числа

и

не могут быть точными квадратами одновременно. Пусть теперь

, а

точным квадратом не является. Мы хотим показать, что уравнения

не могут иметь таких решений

и

соответственно, что

. Для этого рассмотрим минимальное решение

второго из уравнений. Тогда

где

чётно, а

нечётно. Положим

, где

,

--- некоторые целые числа. Нетрудно видеть, что если

, то

Однако

, где

,

и поэтому числа

и

имеют разную чётность. Таким образом,

, что невозможно.