Метод эйлера-коши решения оду

[ototo]

Помогите разобраться собственно с самим методом, ибо поиск дал минимум невнятной информации и кучу алгоритмов. А мне еще нему еще отчет с программой писать
Объясните суть метода плз

[Xenia]

Рассмотрим некую задачу Коши вида $y' = f(x, y), y(x_0) = y_0$.
Хотим построить её решение на отрезке $x_0, x_n$. Для этого разобьём отрезок на $n$ частей ($x_0 < x_1 < ... < x_{n-1} < x_n$) (обычно делят на одинаковые части), и будем считать, что $y_{k+1} = y_k + f'(x_k) \cdot (x_{k+1} - x_k), \quad k = 0, 1, ..., n-1$. Формула довольно естественна, ибо это --- первые два члена в разложении Тейлора. $y_k$ будет приближённым значением функции. Ммм... что-то непонятно?

[Gortaur]

Если без формулы Тейлора, то дифур говорит нам, в каком направлении двигаться из каждой точки, в которой мы находимся (с бесконечно малыми шагами $dx$). Заменяем бесконечно малые шаги на просто малые, что получаем?

$$ y' = \frac{dy}{dx} = f(x,y)\approx \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

где $\Delta x = x_{k+1} - x_k$, $\Delta y = y(x_{k+1}) - y(x_k)$. подставляем это в

$$ f(x,y)\approx \frac{\Delta y}{\Delta x}. $$

Получаем:

$$ f(x_k,y_k)\approx \frac{y(x_{k+1}) - y(x_k)}{x_{k+1} - x_k} $$

то есть

$$ y(x_{k+1}) \approx y(x_k)+f(x_k,y_k)(x_{k+1} - x_k). $$

На заметку: Вы можете брать направление как в текущей точке ($f(x_k,y_k)\approx \frac{\Delta y}{\Delta x}$) и получить явный (или как там по-русски, забыл уже) метод, или взять направление в следующей точке ($f(x_{k+1},y_{k+1})\approx \frac{\Delta y}{\Delta x}$) и получить неявный метод. Первый явный потому, что Вы шаг за шагом находите игреки, в неявном Вы каждый раз имеет уравнение на $y_{k+1}$ которое может быть тоже придется решать численно.