Колебания струны ограниченной длины

[nitrexin]

Здравствуйте, надеюсь на вашу помощь. Появились вопросы с самого начала, а именно с составления системы характеристик. Вопрос в том, правильно составлена система или нет...

Условие:
Решить задачу о колебаниях струны ограниченной длины , если правый ее конец движется по закону $\eta(t) = E\cdot sin \omega t, \omega>0$, а левый конец свободен. Начальное положение и скорость точек струны равны нулю.

Составляю начально-краевую задачу:
$ \left\{ \begin{array}{ll} \begin{aligned} &U\mid_{tt}=a^2U\mid_{xx}+ E\cdot sin \omega t\\ &U\mid_{t=0} = 0\\ &v\mid_{t=0}=0\\ &U\mid_{x=0}=0\\ &v\mid_{x=l}=0 \end{aligned} \end{array} \right. $

P.S Из-за переписи лекций не было, а сейчас еще и праздники и занятия пропадают, выручайте

[ewert]

Во-первых, Вы несчастный синус не туда запихнули (надо не в уравнение, а в граничное условие). Во-вторых, запись никуда не годится: не бывает никаких "ве", а бывают лишь производные "У" по времени. В-третьих, в граничном условии производные бывают вовсе не по времени, а только по координате.

-- Вс окт 31, 2010 23:03:44 --

(Оффтоп)

nitrexin в сообщении #368543 писал(а):

, а сейчас еще и праздники и занятия пропадают,

Это, кстати, странно. У нас всё тихо-мирно: пропадает лишь четверг (но тут уж ничего не поделаешь), а всё остальное спокойно остаётся на своём месте.

[nitrexin]

Сейчас правильно? я думал, что $E\cdot sin \omega t$ нужно учесть как внешнюю силу в профиле волны.
Первые два начальных условия задают начальное положение, а как учесть скорость?

$ \left\{ \begin{array}{ll} \begin{aligned} &U\mid_{tt}=a^2U\mid_{xx}\\ &U\mid_{t=0} = E\cdot sin \omega t\\ &U\mid_{x=0}=0\\ \end{aligned} \end{array} \right. $

[ewert]

Во-первых, Вы перепутали начальные и граничные условия. Во-вторых, перепутали правый и левый конец. Пока хватит.

[rush]

вот такая задача:
$\left\{\begin{array}{lr} U,_{tt} = a^2 U,_{xx} & (1)\\ \left.U\right|_{t = 0} = 0 & (2)\\ \left.U\right|_{x = l} = \eta(t) & (3)\\ \left.U,_{xx}\right|_{x = 0} = 0 & (4) \end{array}\right.$
здесь (1) означает уравнение свободных колебаний струны, т.к. нет источникового члена $f(x,t)$ в правой части.
(2) означает начальные условия (условия при $t = 0$)
(3) означает краевое условие на правом конце.
(4) означает краевое условие на левом конце ($U,_{xx}$ - это сила, действующая на левый конец. вторая производная от перемещения - это сила.)

переходи к задаче Штурма-Лиувилля.

[ewert]

rush в сообщении #368677 писал(а):

(4) означает краевое условие на левом конце ($U,_{xx}$ - это сила, действующая на левый конец. вторая производная от перемещения - это сила.)

переходи к задаче Штурма-Лиувилля.

А стоит ли так торопиться? Сперва полезно записать правильно граничное условие в нуле (Вы напрасно полагаете, что Ваш загадочный значок -- это сила). Но и после этого задача Штурма-Лиувилля преждевременна -- необходимо ещё сделать граничные условия однородными.

[nitrexin]

Цитата:

Сперва полезно записать правильно граничное условие в нуле (Вы напрасно полагаете, что Ваш загадочный значок -- это сила). Но и после этого задача Штурма-Лиувилля преждевременна -- необходимо ещё сделать граничные условия однородными.

Исправил, надеюсь что правильно
$ \left\{ \begin{array}{ll} \begin{aligned} &U\mid_{tt}=a^2U\mid_{tt}+ a^2\cdot U\mid_{xx}\\ &U\mid_{t=0} = 0\\ &U_{t}\mid_{t=0}=0\\ &U\mid_{x=l}=\eta(t)\\ &U_x\mid_{x=0}=0 \end{aligned} \end{array} \right. $

перехожу к однородным граничным условиям:
$w=- \frac{\eta(t)}{l} \cdot x$

подставляю в исходную систему:
$ \left\{ \begin{array}{ll} \begin{aligned} &U(x,t)=w(x,t)+v(x,t)\\ &U_t\mid_{t=0} = 0\\ &v(x,t)\mid_{x=l}=\eta(t)-w\mid_{x=l}=0\\ &U\mid_{x=l}=\eta(t)\\ &v_x\mid_{x=0}=-w_x\mid_{x=0}=0 \end{aligned} \end{array} \right. $

$w=Ax+B$


\begin{cases} \eta(t)-Al-B=0\\ -B=0\\ \end{cases} \Rightarrow A=-\frac{\eta}{l}\cdot x $

Получилась такая задача Ш-Л:
$ \left\{ \begin{array}{ll} \begin{aligned} &v_tt=a^2U_{tt}+\frac{\eta_{tt}}{l} \cdot x\\ &v_\mid_{t=0} = \frac{\eta(0)}{l}\cdot x\\ &v_t\mid_{t=0}=\frac{\eta_t(0)}{l}\cdot x\\ \end{aligned} \end{array} \right. $

Общее решение должно быть в таком видел т.е надо найти $T_n & X_n$, вот только как...?
$U(x,t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}T_n(t)\cdot X_n(t)$

[ewert]

nitrexin в сообщении #373099 писал(а):

Исправил, надеюсь что правильно
$ \left\{ \begin{array}{ll} \begin{aligned} &U\mid_{tt}=a^2U\mid_{tt}+ a^2\cdot U\mid_{xx}\\ &U\mid_{t=0} = 0\\ &U_{t}\mid_{t=0}=0\\ &U\mid_{x=l}=\eta(t)\\ &U_x\mid_{x=0}=0 \end{aligned} \end{array} \right. $

перехожу к однородным граничным условиям:
$w=- \frac{\eta(t)}{l} \cdot x$

Система наконец правильна, а вот переход -- нет (в смысле не тот, что нужен). Он годился бы, если б и на левом конце условие тоже ставились бы на саму функцию, а не на её производную. Так же -- Вы просто перебрасываете неоднородность в граничного условия с правого конца на левый (в чём ошибки в дальнейших выкладках -- надеюсь, найдёте сами).

-------------------------------------
Пардон, система не совсем правильна. Что там у Вас за дичь возникла в волновом уравнении?... (хотя это, скорее всего, лишь результат копипастения)