Найти функцию распределения для кубиков

[druggist]

Есть $N$ мест и $M$ кубиков. На каждом из $N$ мест располагается кучка из $m$ кубиков, пустое место - кучка, у которой m=0. Возьмем произвольное распределение кубиков по кучкам. Обозначим $n(m)$ количество кучек с определенным m. Тогда у нас будет последовательность $n(0), n(1), ...n(m),...n(M)$. Пусть кубики неразличимы (типа бозоны). Нужно найти распределение $n(m)$ исходя из максимума энтропии. Вроде бы все просто, статвес: $N!/(n(0)!(n(1)!...n(m)!...n(M)!)$. Берем логарифм, преобразуем по формуле Стирлинга факториалы,вобщем все также, как делал Больцман, только он искал функцию распределения $m(i)$, где $i$ -порядковый номер кучки из $m$ различимых кубиков, статвес, соответственно: $M!/(m(1)!m(2)!...m(i)!...m(N)!)$. В отсутствие внешнего поля наиболее вероятная конфигурация будет следующей: все $m(i) $одинаковы и равны $M/N$. Однако, в случае нахождения $n(m)$ учет постоянства $M$ (суммирование произведения $n(m)m$ по $m$ дает $M$ -аналог постоянной энергии $E$ в методе Боьцмана) по методу множителей Лагранжа дает $n(m)$ вида: $Aexp(-bm)$, где A, b константы. Хотелось бы спросить обладающих математическим чутьем товарищей, все ли здесь очевидно и прозрачно, нет ли принципиальной ошибки в подходе, боюсь, что-то здесь не так...

P.S. Просьба модераторам сильно не злобствовать, просто не знаю как вставить греческую букву эпсилон для обозначения "энергии" кубика, вследствие чего описание проблемы выглядит так корявенько, но(!) все теги поставлены и формально придраться не к чему

[Lesobrod]

А каков метод начального распределения кубиков?
Они просто "падают сверху" и с равной вероятностью попадают в любое место? Тогда действительно что-то не так.

[druggist]

Lesobrod в сообщении #368221 писал(а):

А каков метод начального распределения кубиков?

При чем здесь начальное распределение кубиков? Это вариационная задача, поиск максимума функции при двух дополнительных условиях(метод множителей Лагранжа) То, что эта функция явно не написана конечно же минус, но можно и догадаться, логарифмирование статвеса дает из произведения факториалов в числителе с помощью формулы Стирлинга сумму(суммирование от $0$ до $M$), вот ее экстремум и ищется. Аналогичный поиск $m(i)$ известнейшая задача.