сходимость числового ряда.

[antoshka1303]

помогите доказать.
Дано, что ряды

$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty {a_k } ,\sum\limits_{k = 1}^\infty {b_k } $$

сходятся, известно, что

$$ \forall k \in N,a_k \leqslant c_k \leqslant b_k $$

доказать, что

$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty {c_k } $$

сходится

[Юстас]

Пусть $A_n=\sum\limits_0^n a_i,\ B_n=\sum\limits_0^n b_i,\ C_n=\sum\limits_0^n c_i$. Тогда $\forall\ k,\ l,\ k>l\ A_k-A_l<C_k-C_l<B_k-B_l $. Из условия сходимости рядов следует, что $A_k-A_l\to0,\ k,l\to\infty,\ B_k-B_l\to0,\ k,l\to\infty$, и так как последовательность частичных сумм ряда $\sum c_k$ фундаментальна, ряд сходится.

[ИСН]

Так это же теорема двух милиционеров в чистом виде.

[Sasha2]

Интересно, а точно такое же утверждение для бесконечного произведения (ну хотя бы для случая, когда все элементы неотрицательны) верно?

[Genrih]

Sasha2 писал(а):

Интересно, а точно такое же утверждение для бесконечного произведения (ну хотя бы для случая, когда все элементы неотрицательны) верно?

А если прологарифмировать?

[незваный гость]

Genrih писал(а):

А если прологарифмировать?

Тут есть любопытная деталь (которая, похоже, на ответ не влияет): сходящееся произведение может сходиться к конечной ненулевой величине, а может — к нулю. Т.е. логарифм произведения будет расходиться в обычном смысле.

[Genrih]

Можно, конечно, проще:
$A_n=\prod\limits_{1}^{n} a_i, C_n=\prod\limits_{1}^{n} c_i , B_n=\prod\limits_{1}^{n} b_i$ и применить теорему для етих последовательностей.

[Someone]

незваный гость писал(а):

... сходящееся произведение может сходиться ... к нулю. Т.е. логарифм произведения будет расходиться в обычном смысле.

В этом случае говорят, что произведение расходится к нулю.

[OZH]

расходиться можно только от...

[незваный гость]

Someone писал(а):

В этом случае говорят, что произведение расходится к нулю.

Любопытно. Никогда не всречал подобного словоупотребления (разумеется, не отрицая его логичности).

[Someone]

незваный гость писал(а):

:evil:

Someone писал(а):

В этом случае говорят, что произведение расходится к нулю.

Любопытно. Никогда не всречал подобного словоупотребления (разумеется, не отрицая его логичности).

Так говорил И.А.Вайнштейн, который читал нам лекции по математическому анализу. У Фихтенгольца такое произведение называется просто расходящимся.