Вычислить эллиптический интеграл

[age]

$$\int{\dfrac{dx}{\sqrt{\sin x+2}}}$$

30.10.10 перенесено из «Олимпиадные задачи (М)» в «Помогите решить / разобраться (М)». На будущее, при создании темы, age, указывайте, пожалуйста, для чего создана тема: с целью получить помощь, либо с целью предложить интересную задачу, решение которой Вам известно. /GAA

[ИСН]

Сводится к эллиптическим.

[age]

Наверное, все же тема создана для того, чтобы помочь мне вычислить этот интеграл. Но в виду того, что его "не берет" MathCad, а при попытке "взять" его вручную, он действительно сводится к эллиптическим:
Элементарно, к:

$$\int{\dfrac{2dx}{\sqrt{(1-x^2)(x^2-3)}}$$

И чуть более сложнее, к:

$$\int{\sqrt{2x^2+\sqrt{7x^4-1}}dx}$$

которые по-прежнему не берутся, то я решил его поместить в "Олимпиадные".
Решение мне не известно.

[AD]

age в сообщении #367936 писал(а):

он действительно сводится к эллиптическим:

age в сообщении #367936 писал(а):

Решение мне не известно.

ВП (:

[Алексей К.]

Последнюю аббревиатуру расшифровал как "Внутреннее Противоречие".

[age]

ВикиПедия.

[AD]

(Правильный ответ :)

Взаимоисключающие параграфы.
Ну это мем такой.

Это я "какбэ намекаю" (c), что если Вы свели интеграл к эллиптическому, то это уже и есть решение.

[GAA]

(О пакетах)

Mathcard 13 не вычисляет (возможно, потому, что использует для символьных вычислений очень старую библиотеку Maple: MVR4). Более поздних версий я никогда не пробовал. Maple 7 дает

 2/3*(-(2+sin(x))*(-1+sin(x)^2))^(1/2)*(6+3*sin(x))^(1/2)*(-sin(x)-1)^(1/2)*(-3*sin(x)+3)^(1/2)/(-sin(x)^3-2*sin(x)^2+sin(x)+2)^(1/2)*EllipticF(1/3*sqrt(6+3*sin(x)),sqrt(3))/cos(x)/(2+sin(x))^(1/2)

Здесь EllipticF — это эллиптический интеграл первого рода в форме Лиувилля: $\mathrm{EllipticF}(z,k) = \int_0^z \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-k^2t^2}}$, $0<k<1$ Более ранних версий Maple у меня уже нет, попробовать не на чем.

Если у Вас, age, возникли затруднения в сведении интеграла к простейшим эллиптическим интегралам, то можно посмотреть (как это делается) в книге
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. (djvu)

[Someone]

Мне Mathematica 5.1 выдала

$$\int\frac{dt}{\sqrt{\sin x+2}}=-\frac 2{\sqrt{3}}\mathop{\mathbf{EllipticF}}\left(\frac{\pi-2x}4,\frac 23\right)+C\text{,}$$

где

$$\mathop{\mathbf{EllipticF}}(\phi,m)=\int_0^{\phi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}\text{.}$$

[Padawan]

(Оффтоп)

Someone
может там $m^2$ под интегралом?

[Someone]

Padawan в сообщении #368187 писал(а):

Someone
может там $m^2$ под интегралом?

Я списал определение из "хелпа" вольфрамовского и не обратил внимание на разницу в обозначениях. А у Вольфрама стоит не запятая, а вертикальная черта:
$\mathop{\mathbf{EllipticF}}(\phi,m)=F(\phi|m)$. Причём, $F(\phi,k)=F(\phi|k^2)=F(\phi|m)$, где $m=k^2$.

[age]

GAA
Someone
Спасибо. Уже понял.

-- Вс окт 31, 2010 22:58:14 --

А давайте так. А можно ли данный интеграл выразить через элементарные функции? Это уже потянет на олимпиадную?

[Алексей К.]

Нельзя. Соотв., не потянет.