Бесконечное произведение

[Vvp_57]

Найдите, пожалуйста, числовое алгебраическое выражение для бесконечного произведения:
$\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{2i}{\left(2k+1 \right)^2} \right)=?$
где
$i=\sqrt{-1}$

У меня есть еще вопрос по бесконечным произведениям, мне где его лучше задать?

[Padawan]

Используйте формулу

$$\prod_{n=1}^\infty\frac{(n-a_1)\ldots (n-a_k)}{(n-b_1)\ldots (n-b_k)}=\prod_{m=1}^k\frac{\Gamma(1-b_m)}{\Gamma(1-a_m)}$$

[GAA]

(Нечестный прием)

Можно воспользоваться представлением косинуса в виде бесконечного произведения:

$\cos x = \prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{x^2}{(2n-1)^2(\pi/2)^2} \right).$

И в конце выразить ответ через $\sh(\pi/2)$ с некоторым коэффициентом.

Нечестность приема решения состоит в том, что надо помнить формулы разложения cинуса и косинуса в бесконечное произведение [1], [2, п.72 Разложение целых функций в бесконечные произведения]. Или хотя бы приблизительно помнить и быстро повторить вывод.

[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. — М.: Наука, 1964. (djvu)
[2] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1965. (djvu)

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #p367887 писал(а):

У меня есть еще вопрос по бесконечным произведениям, мне где его лучше задать

Задавайте прямо в этой теме.

[Vvp_57]

Найдите пожалуйста чему равно бесконечное произведение:

$$\prod_{n=1}^\infty\frac{6k-3+\left(-1 \right)^k+\left(2k-1 \right)\sqrt{5}}{6k-3+\left(-1 \right)^{k+1}+\left(2k-1 \right)\sqrt{5}}=0.527498388803634...$$

[GAA]

Возможно, в условии опечатка, поскольку, используя указание Padawanа, сразу получаем

$$\prod_{k=1}^\infty\frac{6k-3+\left(-1 \right)^k+\left(2k-1 \right)\sqrt{5}}{6k-3+\left(-1 \right)^{k+1}+\left(2k-1 \right)\sqrt{5}} =\frac {\Gamma \left(1-\frac{ 8+3\sqrt 5}{12+4\sqrt 5}\right)\Gamma \left(1-\frac{4+\sqrt 5}{12+4\sqrt 5} \right)}{\Gamma \left(1-\frac{10+3\sqrt 5}{12+4\sqrt 5}\right)\Gamma \left(1-\frac{2+\sqrt5}{12+4\sqrt 5} \right)} \approx 0.7374.$$

[Vvp_57]

Да, ошибся прошу меня простить. Будет:

$$\prod_{n=1}^\infty\frac{6k-3+\left(-1 \right)^k\cdot2+\left(2k-1 \right)\sqrt{5}}{6k-3+\left(-1 \right)^{k+1}\cdot2+\left(2k-1 \right)\sqrt{5}}=0.527498388803634...$$

.

[Padawan]

GAA в сообщении #368387 писал(а):

Возможно, в условии опечатка, поскольку, используя указание Padawan, сразу получаем

$$\prod_{k=1}^\infty\frac{6k-3+\left(-1 \right)^k+\left(2k-1 \right)\sqrt{5}}{6k-3+\left(-1 \right)^{k+1}+\left(2k-1 \right)\sqrt{5}} =\frac {\Gamma \left(1-\frac{ 8+3\sqrt 5}{12+4\sqrt 5}\right)\Gamma \left(1-\frac{4+\sqrt 5}{12+4\sqrt 5} \right)}{\Gamma \left(1-\frac{10+3\sqrt 5}{12+4\sqrt 5}\right)\Gamma \left(1-\frac{2+\sqrt5}{12+4\sqrt 5} \right)} \approx 0.7374.$$

Здесь нельзя пользоваться этой формулой, так как оба произведения (с четными и нечетными $k$) оказываются расходящимися.

[GAA]

Padawan, поскольку $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$, $a_i < 1$, $b_i < 1$, то применение законно.

[Padawan]

А, ну да. Просто по два сгруппировать. Туплю .