задача из планиметрии: точка внутри выпуклого четырехугольни

[Andrey173]

Может ли сумма расстояний от некоторой точки, лежащей внутри выпуклого четырехугольника, до его вершин быть больше периметра этого четырехугольника.
Ответ - Нет. А вот как доказать. С чего начать?

[Sasha2]

Начните с того, что покажите, что точка, обладающая тем свойством, что сумма расстояний от нее до четырех вершин данного четырехугольника, наименьшая, - это точка пересечения диагоналей этого четырехугольника.

[Andrey173]

Это следует из неравенства треугольников

[Sasha2]

Ну а теперь, если это понятно, осталось самое легкое. Опять же, применяя то же самое неравенство треугольника, показать, что у всякого четырехугольника сумма его диагоналей меньше его периметра.

[Andrey173]

Но ведь в задаче не для точки пересечения диагоналей, а для любой произвольной точки внутри четырехугольника. А мы доказали только для той у которой сумма расстояний до вершин наименьшая.

[ИСН]

А для произвольной это и неверно.

[Andrey173]

Текст задачи - Может ли сумма расстояний от некоторой точки, лежащей внутри выпуклого четырехугольника, до его вершин быть больше периметра этого четырехугольника.
В конце ответ - Нет. Переписал слово в слово) Думаете опечатка? Тогда как доказать обратное

[Sasha2]

Тогда привидите пожалуйста контрпример.

-- Пт окт 29, 2010 19:41:03 --

Да пожалуй, контрпример построить нетрудно, взяв в вершинами такого четырехугольника три подряд, идущие очень близко расположенные друг к другу точки окружности достаточно большого радиуса, а четвертой вершино, взяв центр этой окружности.
В качестве искомой точки берем точку, не очень далеко отстоящую от центра этой окружности и внутри этого четырехугольника.

Меня тоже это смутило, поскольку для треугольника это верно.
Интересно, а в каком это задачнике такая задача?

[Andrey173]

Дополнительные главы к учебнику Атанасяна. (Для классов с усиленной мат. подготовкой) 8 класс

[Sasha2]

Ну это очевидная ошибка, такое часто бывает. Поэтому вопрос этот можно закрывать.

[Andrey173]

Спасибо всем кто откликнулся)