Сходимость рядов

[PreVory]

Требуется доказать 2 утверждения:
1) $a_n>0, ряд \sum a_n$ сходится. Доказать, что сходится и $\sum {\sqrt {\frac {a_n} n}}$
2)последовательность $a_n$ монотонна и положительна, ряд $\sum {\sqrt {\frac {a_n} n}}$ сходится. Доказать, что сходится и$ \sum a_n$

[Хорхе]

1) $a_n=\frac{1}{n\ln^2 n}$ случаем не контрпример?

[venco]

Хорхе в сообщении #367625 писал(а):

1) $a_n=\frac{1}{n\ln^2 n}$ случаем не контрпример?

А он разве сходится?

[Mitrius_Math]

venco в сообщении #367639 писал(а):

А он разве сходится?

Сходится (согласно интегральному признаку Коши-Маклорена).

[Хорхе]

До сих пор сходился, но мало ли что в мире изменилось за столько времени :)

-- Пт окт 29, 2010 19:14:25 --

2) тоже неправильно (если не проглючил). Для $4^n<k<4^{n+1}$ возьмем $a_k=\frac{1}{n^2 2^n}$.

Вопрос к топикстартеру: где Вы набрали этих неправильных задач?

(Оффтоп)

Кстати, второй пункт правилен в такой формулировке: если последовательность $a_n$ возрастает (и далее по тексту)

[PreVory]

хм..похоже действительно первое не верно утверждение не верно. Однако для второго ваш пример не будет контрпримером, там оба ряда будут рассходится.
Если заменить в формулировке слово монотонная на возрастающая, то это не может быть верным, т.к. общий член конечного ряда не будет бесконечно малой величиной.
А задания были даны преподователем по матану в ННГУ, правда они были восстановлены по памяти и видимо он допустил ошибку в формулирокве)

[venco]

Mitrius_Math в сообщении #367644 писал(а):

venco в сообщении #367639 писал(а):

А он разве сходится?

Сходится (согласно интегральному признаку Коши-Маклорена).

Действительно. Он у меня в нуле и единице расходился, а я не заметил.

[Хорхе]

PreVory в сообщении #367672 писал(а):

Однако для второго ваш пример не будет контрпримером, там оба ряда будут рассходится.

Ой ли?

-- Пт окт 29, 2010 20:56:13 --

PreVory в сообщении #367672 писал(а):

Если заменить в формулировке слово монотонная на возрастающая, то это не может быть верным, т.к. общий член конечного ряда не будет бесконечно малой величиной.

Вы не правы, утверждение как раз получится правильное (хотя и бесполезное).