Пополнение пространства(функциональный анализ)

[T-Mac]

Добрый день!
Уже неделю решаю задачу - никак не выходит)
Есть пространство $X= \quad\left\{\quad\left\{x_n \right\} ^{\infty}_{n=1} | \exists N : x_m=0, m>N}\right\} $
Найти пополнение этого пространства относительно нормы $||x||=sup_n|x_n|$

[Null]

Стремящиеся к 0 последовательности?

[moscwicz]

да это $c_0$

[T-Mac]

как я понимаю для полноты пространства нужно что бы каждая фундаментальная последовательность из элементов этого пространства (т.е. последовательностей) сходилась в этом пространстве.
т.е. нужно найти приделы всех фундаментальных последовательностей ,
но вот как это сделать пока не знаю...

[ewert]

Дело в том, что последовательность стремящихся к нулю последовательностей -- само по себе полно (относительно той самой нормы). Ну есть такая теорема, ну что уж тут поделать. И её так или иначе придётся задействовать: или явно, или вывести на коленке, не называя вслух.

А если так -- то всё сводится к доказательству того, что Ваше пространство последовательностей (их некоторые любят ещё называть "финитными") плотно в пространстве сходящихся последовательностей. Ну это уж совсем тривиально.

(Оффтоп)

Хотя, надо сказать, слова "Найти пополнение этого пространства" -- выглядят явно неграмотными. Что значит "найти пополнение"?... -- его можно лишь построить. Ну или: "придумать пространство последовательностей с той же нормой, которое было бы изоморфно пополнению".

Или я совсем уж заархиппился?...

[T-Mac]

У меня была мысль про полноту пространства, я начал доказывать что оно полно..но у меня не получилось
Попробую тут написать что у меня вышло:
-берем фундаментальную последовательность
$ \quad\left\{x^m_n \right\} ^{\infty}_{m=1}$;
из того что она фундаментальная следует $\exists N:k,l>N ||\left\{x^k_n \right\} -\quad\left\{x^l_n \right\} ||<e$ для произвольного е;
$||\left\{x^k_n \right\} -\quad\left\{x^l_n \right\} ||=sup_n|x^l_n -x^k_n |$;
-теперь надо что бы эта последовательность сходилась в нашем пространстве
$x^m_n\to x^*$
а как получить это я пока не знаю...

[ewert]

У Вас неудачные обозначения. Трудно понять: что есть индекс внутри последовательности -- а что есть номер последовательности. Рекомендую, например, номер последовательности ставить в скобки, чтоб это бросалось в глаза.

Теперь по существу. Докажите для начала, что фундаментальная последовательность сходится к некоторой последовательности поэлементно (это тривиально). Тем самым у Вас появится некий кандидат на предельное значение. А потом покажите, что этот кандидат сам по себе должен быть стремящимся к нулю (при уходе на бесконечность индекса последовательности).

Последнее легко доказывается от противного: если это не так -- то та предельная последовательность не сможет быть равномерным пределом последовательностей, стремящихся к нулю.

(пардон, я упустил промежуточный шаг. Допустим, мы поэлементный предел нашли. Теперь -- для перехода к последнему шагу -- надо ещё доказать, что члены последовательности стремятся к тому поэлементному пределу именно равномерно. Ну так надо просто формально выписать определение равномерной фундаментальности -- и перейти в нём к поэлементному пределу по одному из двух номеров)

[T-Mac]

$x_n^{(k)} $k-номер последовательности;
Если я правильно понимаю поэлементно это когда каждый член фундаментальной последовательности(те последовательность) сходиться к некоторому числу, каждая такая последовательность сходиться к 0;
Правильно?
Если так то кандидат на предельное значение нулевая последовательность, она лежит в этом пространстве
дальше пока не знаю...

[ewert]

T-Mac в сообщении #367727 писал(а):

Если так то кандидат на предельное значение нулевая последовательность,

С какой стати нулевая-то? Это просто некоторая последовательность $\{y_n\}$ такая, что $(\forall n)\ x_n^{(k)}\to y_n$ при $k\to\infty$.

Теперь доказывайте, что 1) эта сходимость не просто поэлементная, а именно равномерная и 2) что $y_n\to0$.

[T-Mac]

$x_n^{(k)}\to y_n =>$
$\forall e \exists K: \forall k>K, sup_n|x_n^{(k)}-y_n|<e =>$
$\forall e \exists K: \forall k>K,|x_n^{(k)}-y_n|<e , \forall n $
но $\forall n >N , x_n^{(k)}=0=> $
$\forall n >N , |y_n|<e=>$
$ y_n \to 0$
т. е. доказали пункт 2, но по момему нужно что бы $y_n$ была финитной(для полноты)
т. е. этого мало , или я ошибаюсь?
зачем нужен пункт 1 я вообще не понимаю...не могли бы вы пояснить(вроде для доказательства полноты равномерная сходимость не требуется) .

[ewert]

T-Mac в сообщении #371506 писал(а):

зачем нужен пункт 1 я вообще не понимаю...не могли бы вы пояснить(вроде для доказательства полноты равномерная сходимость не требуется)

как она может не требоваться, когда метрика именно равномерна

T-Mac в сообщении #371506 писал(а):

$x_n^{(k)}\to y_n =>$

дальше читать отказываюсь, поскольку уже это не имеет точного смысла -- не сказано, в каком смысле "стремится"

[T-Mac]

$x_n^{(k)}\to y_n$ при $k \to \infty$
$\forall e \exists K: \forall k>K, sup_n|x_n^{(k)}-y_n|<e $
$\forall e \exists K: \forall k>K,|x_n^{(k)}-y_n|<e , \forall n$
$\forall n >N , x_n^{(k)}=0=> $$y_n \to 0$

Теперь правильно?

[ewert]

T-Mac в сообщении #371537 писал(а):

Теперь правильно?

Неправильно: в

T-Mac в сообщении #371537 писал(а):

$x_n^{(k)}\to y_n$ при $k \to \infty$

-- решительно ничего не сказано про $n$, тем самым утверждение лишается смысла.

[T-Mac]

T-Mac в сообщении #371537 писал(а):

$x_n^{(k)}\to y_n$ при $k \to \infty$

$\forall n$

[T-Mac]

Я наконец понял вроде бы)
доказав что предел фундаментальной последовательности стремиться к нулю мы и нашли пополнение исходного пространства ...
Осталось доказать что пространство сходящихся к нулю последовательностей плотно..