|
I.Bush
Давайте разберемся с характеристиками радиотехнических
сигналов
Примем, что радиотехнические сигналы могут характеризоваться следующим образом:
1. Спектром сигнала.
2. Спектральной плотностью.
3. Энергетическим спектром сигнала.
1.Принято для представления суммы гармоник использовать дискретный ряд Фурье [И. С. Гоноровский “Советское радио” 1973], который для непрерывного сигнала с заменой символа ‘s’ на символ ‘U’ и символа ‘i’ на символ ‘j’ и конечным периодом повторения T можно представить в виде:
T
U(t) = ∫ cnejn•Ω1•tdt (1)
t=0
где:
t – время наблюдении за сигналом,
s(t) – непрерывный сигнал,
cn – коэффициенты ряда Фурье,
Ω – круговая частота сигнала Ω = 2πf,
f – частота сигнала f – 1/T,
j – мнимая единица.
Для дискретного сигнала этот ряд можно записать как:
N
U(∆t•n) = Σcnei∆Ω•k•∆t•n∆t (2)
n=1
где:
N – дискретное время наблюдения за сигналом N = ∆t•n,
∆t – шаг временного дискрета,
n – номер временного дискрета,
U(∆t•n) – дискретный сигнал,
∆Ω – частотный шаг дискретизации,
k – номер частотного дискрета.
Однако, дискретный сигнал можно представить в виде следующей суммы гармоник:
N
U(∆t•n) = ∆t•ΣUm(n) (3)
n=1
где;
Umn – Um амплитуда n-ой гармоники.
Представляя сигнал рядом (3), который для простоты назовем рядом Bush, можно определить амплитуду и частоту каждой гармоники сигнала.
Действительно, ряд Bush можно записать как систему линейных алгебраических уравнений в треугольной форме следующим образом:
U(∆t•1) = Um1
U(∆t•2) = Um1 + Um2
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••
U(∆t•n) = Um1 + Um2 +•••+ Um(n-1)
Гармоники ряда Bush имеют частоты f = 1/∆t•n.
Приведенные формулы для расчета амплитуд и частот гармоник остаются справедливыми и при неравномерном временном шаге дискретизации.
С физической точки зрения ряд Bush представляет собой спектр сигнала и имеет размерность [вольт•c] или [вольт/Гц]. Этот спектр записан во временной области.
Графическое изображение спектра n-ой гармоники (сигнала) во временной области выглядит так: Рисунок Рис.1.
Если спектр гармоники пронормировать к величине временного дискрета, то ее спектр будет выглядеть следующим образом: Рисунок Рис.2.
На рисунках Рис.1 и Рис.2 представлено изображение спектра одой гармоники во временной области.
Для представления спектра в частотной области воспользуемся аналогом выражения (3), представив его следующим рядом:
K
S(∆f•k) = ΣSm(k) (5)
k=1
где:
S(∆f•k) – дискретные отсчеты спектра,
∆f – шаг частотного дискрета.
k – номер частотного дискрета,
K – количество частотных дискретов,
Sm(k) – ‘амплитуда’ спектральных отсчетов Sm на k-ой
частоте.
Очевидно, что отсчеты спектра расположены на частоте:
f = k/∆t, т.е. на кратных частотах.
В частотной области изображение спектра одной гармоники можно представить как изображено на рисунке рис.3:
Рассмотрим более сложный вид синусоидального колебания, например сигнал с переменной частотой.
Такой сигнал можно записать в виде:
U(∆t•n) = Umsin(ed•∆t•nΩ•∆t•n) (6)
где:
d – вещественное число. Причем, если d > 0, то частота колебания нарастает, а если меньше нуля, то убывает. Спектр сигнала с нарастающей частотой колебаний изображен на рисунке Рис.4, .
3. Обычно, спектральную плотность сигнала записывается преобразованием Фурье для конечного времени наблюдения в виде [Гоноровский]:
T
S(Ω) = ∫U(t)e-jΩtdt (7)
t=0
где:
Ω – круговая частота.
Однако, по физическому смыслу в правой части уравнения (7)
Ω это круговая частота сигнала, а в левой части Ω это круговая частота спектральной плотности сигнала. Очевидно, это разные частоты.
Выражению (7) можно придать более строгий вид:
T
S(ω) = ∫U(t)e-jΩtdt (8)
t=0
где;
Ω – круговая частота сигнала,
ω – круговая частота плотности сигнала.
Для дискретного сигнала дискретную плотность сигнала можно записать в виде:
K
S(∆ω•k) = ∆t Σ U(∆t•n)e-j∆Ω•k•∆t•n (9)
k=1
Левые и правые части выражения (9) являются комплексными выражениями и поэтому представляется целесообразным рассмотреть модули (корень квадратный из суммы квадратов вещественной и мнимой части) выражения (9).
K
modS(∆ω•k) = ∆t ΣUm√[cos(∆Ω•k•∆t•n) + sin(∆Ω•k•∆t•n)] (10)
k=1
Очевидно, что выражение (10) можно записать в виде:
K
modS(∆ω•k) = ∆t Σ√Umn2 (11)
k=1
где:
Umn – амплитуда n-ой гармоники. (12)
Выражение (11) а дальнейшем будем называть спектральной плотностью Bush.
Отметим, что расчет спектральной плотности Bush не требует использования быстрого преобразования Фурье разработанное двумя авторами из Северных штатов Америке в 1965г. [Cooly and Tukty].
Выражения (9) и (11) имеют размерность [вольт•с] или, что то же самое [вольт/Гц]. В системе СИ нет величин с такой размерностью.
4. Рассмотрим еще одну – энергетическую характеристику сигнала.
Энергия сигнала Е связана со спектральной плотностью
сигнала S(ω) соотношением [Представление сигналов Sank Petersburg Polytechnic Википедия 2010], которое в используемых символах можно записать так:
ω
E = 1/2π ∫modS(ω)dω (13)
ω=0
Для дискретного сигнала выражение (13) примет вид;
K
E(∆ω•k) = (∆t)2 ΣUmn2 (14)
k=1
где:
E(∆ω•k) – энергетический сигнала.
Размерность выражения (14) [вольт2•c2] или [мощность/Гц], т.е. плотность мощности сигнала.
Для получения энергетического спектра сигнала выражение (14) следует записать в виде:
K
E(∆ω•k) = (∆t)3 ΣUmn2 (15)
k=1
Выражение (15) имеет размерность [вольт2•с3] или [энергия/Гц], т.е. распределение энергии сигнала в частотном диапазоне.
В дальнейшем выражение (15) будем называть энергетическим преобразованием Bush.
Рассмотрены характеристики радиотехнического сигнала, а именно:
1. Спектр сигнала, в виде ряда Bush.
2. Спектральная плотность сигнала в виде преобразования Bush.
3. Энергетическая плотность.
Эти характеристики позволят анализировать сигналы с разных точек зрения.
Создается впечатление, что преобразование Фурье, так же как и быстрое преобразование Фурье, ничего нового, по сравнению с предложенным расчетом спектра сигнала не дает и, кроме того, не требуется для получения ни одной из характеристик сигнала, хотя и рассчитывается с большими затратами машинного времени, но всего этого не может быть, потому, что не может быть никогда.
Однако, ‘Небывалое,бывает’[Пётр 1].
906-269-54-77 позывной Ingar
Представленные на обсуждение заметки появились благодаря работе Дмитриева-Е-В в ‘Научном форуме dxdy’ Википедия
|
28.10.2010, 13:55 
