Нахождение области устойчивости

[tomsoier]

Читал книгу Эльсгольца, в упражнениях на теорию устойчивости дан такой пример.

-Найти область устойчивости. $\dddot{x}+\ddot{x}+a^2\dot{x}+5ax=0$

Честно говоря не понимаю ни как решать этот дифур, ни как искать "область" устойчивости. Помогите пожалуйста, а лучше всего напишите решение, так проще разобраться (или хотя бы схему решения).

Спасибо

[ewert]

tomsoier в сообщении #367215 писал(а):

Честно говоря не понимаю ни как решать этот дифур, ни как искать "область" устойчивости

Решать его не надо, а надо только найти область значений параметра $a$, при которых все решения экспоненциально убывают, т.е. все корни характического уравнения имеют отрицательную вещественную часть. Характеристическое уравнение будет кубическим, так что явно его корни, можно сказать, не находятся. Однако есть легко проверяемые критерии устойчивости. Проще всего в данном случае -- критерий Михайлова (корни "многочленов Михайлова" должны иметь правильные знаки и правильно чередоваться, а эти многочлены здесь и всего-то линейные).

[Padawan]

Критерий Гурвица еще есть. В Эльсгольце он описан по-моему.

[ewert]

Да, или Гурвица.

Тут, правда, есть один нюанс. Это всё в том случае, когда имелась в виду асимоптотическая устойчивость. А если просто устойчивость, то надо ещё отдельно проверить случаи наличия чисто мнимых корней или нулевого корня. Но это уже совсем просто.

[tomsoier]

в таком случае получается при $a>5$ решения асимптотически устойчивы. по Гурвицу

[ewert]

tomsoier в сообщении #367243 писал(а):

в таком случае получается при $a>5$ решения асимптотически устойчивы. по Гурвицу

Асимптотически -- да.