обратная матрица

[Anya90]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как можно найти обратную матрицу к следующей:
$\[ \left( \begin{array}{cccc} 3||x||+\frac{3x_1^2}{||x||} &\frac{3x_1 x_2}{||x||} & ... & \frac{3x_1 x_n}{||x||} \\ \frac{3x_2 x_1}{||x||} & 3||x||+\frac{3x_2^2}{||x||} &... & \frac{3x_2 x_n}{||x||} \\ &.............................&\\ \frac{3x_n x_1}{||x||} & \frac{3x_n x_2}{||x||}& ...& 3||x||+\frac{3x_n^2}{||x||} \end{array} \right)\]$

Пробовала раскладывать по строкам, красивого ответа не получается.

[ewert]

Разными там делениями вопрос сводится к обращению матрицы

$$\begin{pmatrix}1+y_1^2&y_1y_2&\ldots &y_1y_n\\ y_2y_1&1+y_2^2&\ldots &y_2y_n\\ \vdots&\vdots&\ddots &\vdots\\ y_ny_1&y_ny_2&\ldots &1+y_n^2\end{pmatrix}=I+\vec y\cdot\vec y^T$$

(где $\vec y=\frac{\vec x}{\|\vec x\|}$). Обращение последней матрицы сводится к решению уравнения $\vec u+\vec y\,(\vec u,\vec y)=\vec f$ (относительно $\vec u$ для каждого $\vec f$). Это легко -- ищите решение в виде $\vec u=\vec f+t\,\vec y$; в конце концов получите матрицу, очень похожую на исходную.

Ну или на геометрическом языке: эта матрица есть $I+P$, где $P=\vec y\vec y^T$ -- это некий проектор; соответственно, и обратная матрица будет иметь вид $I+t\,P$ при подходящем $t$.

[Anya90]

Спасибо большое. Нашла.