2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 задачка про сходимость ряда
Сообщение03.09.2006, 19:26 
Аватара пользователя
помогите доказать сходимость ряда по определению. $$
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\sqrt {k + 2}  - 2\sqrt {k + 1}  + \sqrt k } 
$$

 
 
 
 Re: задачка про сходимость ряда
Сообщение03.09.2006, 19:34 
$$
\sum\limits_{k = 1}^n  {\sqrt {k + 2}  - 2\sqrt {k + 1}  + \sqrt k }=\sqrt n -\sqrt{n-1}+1-\sqrt 2 
$
сходится к $1-\sqrt 2 $

 
 
 
 Re: задачка про сходимость ряда
Сообщение03.09.2006, 19:49 
Аватара пользователя
Руст писал(а):
$$
\sum\limits_{k = 1}^n  {\sqrt {k + 2}  - 2\sqrt {k + 1}  + \sqrt k }=\sqrt n -\sqrt{n-1}+1-\sqrt 2 
$
сходится к $1-\sqrt 2 $

можно по подробнее переход сразу после равно, что-то клинет меня

 
 
 
 Re: задачка про сходимость ряда
Сообщение03.09.2006, 20:07 
$$ \sum\limits_{k = 1}^n  {\sqrt {k + 2}  - 2\sqrt {k + 1}  + \sqrt k }=\sqrt {n+2} -\sqrt{n+1}+1-\sqrt 2 
$ сходится к $$ 1-\sqrt 2. $

Распишите сумму ряда:
$$

\sum\limits_{k = 1}^n  {\sqrt {k + 2}  - 2\sqrt {k + 1}  + \sqrt k}=

=(\sqrt {3}  - 2\sqrt {2}  + \sqrt 1) + (\sqrt {4}  - 2\sqrt {3}  + \sqrt 2) + (\sqrt {5}  - 2\sqrt {4}  + \sqrt 3) + (\sqrt {6}  - 2\sqrt {5}  + \sqrt 4) + ...+ $

$$ +(\sqrt {n}  - 2\sqrt {n-1}  + \sqrt {n-2})+ (\sqrt {n+1}  - 2\sqrt {n}  + \sqrt {n-1})+(\sqrt {n+2}  - 2\sqrt {n+1}  + \sqrt {n}). $

Радикалы $$ \sqrt 3, \sqrt 4, ..., \sqrt {n-2}$ взаимоуничтожаются.

 
 
 
 
Сообщение03.09.2006, 20:07 
Распишите сумму и убедитесь, что все члены кроме двух крайних с начала и с конца сокращаются. А так же надо бедится, что $\sqrt{n+1}-\sqrt n $ стремится к нулю.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group