задачка про сходимость ряда

[antoshka1303]

помогите доказать сходимость ряда по определению.

$$ \sum\limits_{k = 1}^\infty {\sqrt {k + 2} - 2\sqrt {k + 1} + \sqrt k } $$

[Руст]

$$ \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k + 2} - 2\sqrt {k + 1} + \sqrt k }=\sqrt n -\sqrt{n-1}+1-\sqrt 2 $
сходится к $1-\sqrt 2 $

[antoshka1303]

Руст писал(а):

$$ \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k + 2} - 2\sqrt {k + 1} + \sqrt k }=\sqrt n -\sqrt{n-1}+1-\sqrt 2 $
сходится к $1-\sqrt 2 $

можно по подробнее переход сразу после равно, что-то клинет меня

[vbn]

$$ \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k + 2} - 2\sqrt {k + 1} + \sqrt k }=\sqrt {n+2} -\sqrt{n+1}+1-\sqrt 2 $ сходится к $$ 1-\sqrt 2. $

Распишите сумму ряда:
$$ \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k + 2} - 2\sqrt {k + 1} + \sqrt k}= =(\sqrt {3} - 2\sqrt {2} + \sqrt 1) + (\sqrt {4} - 2\sqrt {3} + \sqrt 2) + (\sqrt {5} - 2\sqrt {4} + \sqrt 3) + (\sqrt {6} - 2\sqrt {5} + \sqrt 4) + ...+ $

$$ +(\sqrt {n} - 2\sqrt {n-1} + \sqrt {n-2})+ (\sqrt {n+1} - 2\sqrt {n} + \sqrt {n-1})+(\sqrt {n+2} - 2\sqrt {n+1} + \sqrt {n}). $

Радикалы $$ \sqrt 3, \sqrt 4, ..., \sqrt {n-2}$ взаимоуничтожаются.

[Руст]

Распишите сумму и убедитесь, что все члены кроме двух крайних с начала и с конца сокращаются. А так же надо бедится, что $\sqrt{n+1}-\sqrt n $ стремится к нулю.