Цепочка на сфере

[iVeage]

Не могу понять условия задачи.
На сферическую поверхность радиусом R положили цепочку длиной $l$($l<\frac{\pi R}{2}$ ) и закрепили один из ее концов на вершине сферы. С каким по величине ускорением начнет двигаться цепочка, если ее верхний конец освободить? Трением пренебречь.

[Утундрий]

Так как длина звеньев не задана, то в задаче подразумевается непрерывный предел. Но начните все-таки с ломанной.

[venco]

Я думаю, проще решить задачу через момент силы, действующей на цепочку.

[Munin]

Цепочка - это много массивных звеньев. На начало задачи цепочка свисает по сфере, закреплённая одним концом на северном полюсе. Как чуб на Тарасе Бульбе. Каждое звено стремится соскользнуть вниз, и тянет за собой следующие звенья, но самое верхнее звено не может никуда сдвинуться. В момент времени $t=0$ это условие снимается, и все звенья начинают скользить. При этом соблюдается только условие, что цепочка никаким своим участком не растягивается длиннее своей фиксированной длины (скомкаться может).

[Утундрий]

А, тьфу ты... Нам же весь процесс не нужен и свисание не возникнет. Следовательно, можно просто-напросто заменить цепочку куском проволоки.

[iVeage]

Цитата:

При этом соблюдается только условие, что цепочка никаким своим участком не растягивается длиннее своей фиксированной длины (скомкаться может)

спасибо,уже я понял, что это задача на связи)). Скомкаться НЕ может-ведь трение принебрегают,и масса верхнего звена не может быть больше все цепочки, или я опять, что то не пойму.

[мат-ламер]

Я не знаток в механике, но мне кажется эту задачу можно решать через закон сохранения энергии. Причём кинетическую энергию цепочки можно вычислить через её момент инерции и угловую скорость.

[Munin]

iVeage в сообщении #366138 писал(а):

Скомкаться НЕ может-ведь трение принебрегают,и масса верхнего звена не может быть больше все цепочки, или я опять, что то не пойму.

Скомкается или не скомкается - это надо решать на основании сил (если сила натяжения положительная, цепочка растянута, если пытается стать отрицательной - цепочка комкается), или сравнивая ускорение звена с ускорением воображаемого движущегося рядом с ним отдельного грузика той же массы. Но грубо и качественно можно сказать, что в вашей задаче цепочка не скомкается, потому что сфера выпукла вверх. И каждое более нижнее звено тянется вниз сильнее, чем более верхние (в смысле проекции силы тяжести на линию движения звена). А вот в другой задаче, с поверхностью, выпуклой вниз, типа чаши, цепочка могла бы скомкаться.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #366166 писал(а):

А вот в другой задаче, с поверхностью, выпуклой вниз, типа чаши, цепочка могла бы скомкаться.

Допустим у нас чаша в в виде сферы, выпуклой вниз. Причём трением пренебрегаем. Разве скомкается (до достижения первым звеном низшей точки)?

[Munin]

мат-ламер в сообщении #366173 писал(а):

Допустим у нас чаша в в виде сферы, выпуклой вниз. Причём трением пренебрегаем. Разве скомкается (до достижения первым звеном низшей точки)?

Скомкается, в том смысле, что длина цепочки будет меньше, чем длина вытянутой цепочки, каждые два соседних звена будут ненатянуты, а связи "выключатся". В трёхмерном пространстве цепочка, скользящая по такой поверхности, может получить изгибы поперёк градиента высоты, и не будет натянута, чтобы их выпрямить. Если поверхность имеет замысловатый профиль, звенья цепочки могут получить скорости в направлении друг к другу, и через некоторое время скольжения скомкаться в более сильном смысле - когда конечный участок цепочки занимает бесконечно малый размер, или возникает самопересечение (как я понимаю, именно этот смысл имели в виду вы в вашем вопросе).

[мат-ламер]

Спасибо! Действительно скомкается. Меня смутил тот факт, что цепочка, состоящая из одного звена будет двигаться в такой чаше с всё возрастающей скоростью (хотя ускорение и будет уменьшатся). Но если расссмотрим цепочку из двух звеньев где-то посередине пути, и допустим звенья двигаются с одинаковой скоростью. Но ускорение верхнего звена будет больше, что и приведёт к скомканью.

[ewert]

Утундрий в сообщении #366118 писал(а):

А, тьфу ты... Нам же весь процесс не нужен и свисание не возникнет. Следовательно, можно просто-напросто заменить цепочку куском проволоки.

+1. Но только соответствующим образом изогнутой, конечно. А то я не сразу и врубился, что имелось в виду.

[BISHA]

iVeage в сообщении #366102 писал(а):

С каким по величине ускорением начнет двигаться цепочка

Взять все элементарные составляющие проекции сил тяжести на касательные к поверхности, сложить их через интеграл, а затем очевидно....

[rotozeev]

BISHA в сообщении #366259 писал(а):

iVeage в сообщении #366102 писал(а):

С каким по величине ускорением начнет двигаться цепочка

Взять все элементарные составляющие проекции сил тяжести на касательные к поверхности, сложить их через интеграл, а затем очевидно....

Или так: найти потенциальную энергию цепочки (опять таки через интеграл) как функцию угла (например между горизонтальной осью, проходящей через центр сферы, и одним из концов цепочки), и кинетическую энергию цепочки, как функцию этого же угла. Записываем функцию Лагранжа -> получаем уравнение движения (ускорение пропорционально всяким там синусам/косинусам от угла) -> подставляем вместо угла - начальное его значение и задача решена.