Теория вероятностей. Условное математическое ожидание.

[Алина:)]

Здравствуйте. Помогите,пожалуйста, разобраться с задачи на условные математические ожидания и плотности, с задачами по этой теме столкнулась впервые.
1)Пусть $\xi$, $\eta$ -независимые случайные величины с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$. Найти $P(\max\left\{\xi,\eta\right\}\leqslant x|\xi)$

2)Пример случайных величин $\xi$, $\eta$,$\zeta$ таких,что $\xi$ независит от $\eta$ и $\xi$ независит от $\zeta$, но $M(\xi|(\eta,\zeta))\neq const

Мысль про первую задачу была-применить вместо вероятности-матемтаическое ожидание(т.е. по определению)
$P(B|\eta)=M(\mathbb{I}_B|\eta), где B событие, $\mathbb{I}_B- индикатор

[--mS--]

Алина:) в сообщении #366087 писал(а):

Мысль про первую задачу была-применить вместо вероятности-матемтаическое ожидание(т.е. по определению)
$P(B|\eta)=M(\mathbb{I}_B|\eta), где B событие, $\mathbb{I}_B- индикатор

Ну можно и так, а математическое ожидание $M({\mathbb I}_{\max(\xi, \eta) \leqslant x} | \xi = t)$ (или, что то же самое, соответствующую вероятность) вычислить можете?

По второй задаче: явно нужно искать такие величины, чтобы $\xi$ зависела от вектора $(\eta, \zeta)$. Вопрос попроще: можете привести пример трёх событий, что $A$ не зависит от $B$, $A$ не зависит от $C$, но $A$ зависит, например, от $B\cap C$ или $B\cup C$? Эффект-то один и тот же.

[Алина:)]

1) для этого используем формулы $P(B|\xi=t)= \frac {P(B\cap\left\{\xi=t\right\}} {P(\left\{\xi=t\right\}})}$?

функция распределения $\max\left\{\xi,\eta\right\}$=F(x)*G(x)

если $\xi=t$ и $t\geqslant x,то вероятность =0
если же наоборот,то $\eta$ должна быть $\eta\leqslant x$,
Значит. с вероятность $P(\eta\leqslant x)=G(x)$

по 2) пока никаких соображений(

-- Пн окт 25, 2010 23:35:41 --

По поводу 2)
пусть $\Omega=\left\{1,2,3,4\right\}$
Пусть $P(\left\{1\right\})=P(\left\{2\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=\frac 1 4$.
$\xi(1)=\xi(3)=0,\xi(2)=\xi(4)=1,\eta(1)=\eta(2)=1,\eta(3)=\eta(4)=0, \zeta(1)=\zeta(4)=0,\zeta(2)=\zeta(3)=1, P(\xi=1,\eta+\zeta=2)=\frac 1 4\neq 0=P(\xi=1)P(\eta+\zeta=2)$

[--mS--]

Алина:) в сообщении #366239 писал(а):

1) для этого используем формулы $P(B|\xi=t)= \frac {P(B\cap\left\{\xi=t\right\}} {P(\left\{\xi=t\right\}})}$?

Нет, таких формул мы не используем. На ноль делить нельзя. Просто подставляем $t$ вместо $\xi$.

Ответ (если $G(x)$ - окончательный ответ) получили неверный. Как может ответ от $t$ не зависеть? Разве $\max(\xi, \eta)$ и $\xi$ - независимые случайные величины?

Алина:) в сообщении #366239 писал(а):

По поводу 2)
пусть $\Omega=\left\{1,2,3,4\right\}$
Пусть $P(\left\{1\right\})=P(\left\{2\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=\frac 1 4$.
$\xi(1)=\xi(3)=0,\xi(2)=\xi(4)=1,\eta(1)=\eta(2)=1,\eta(3)=\eta(4)=0, \zeta(1)=\zeta(4)=0,\zeta(2)=\zeta(3)=1, P(\xi=1,\eta+\zeta=2)=\frac 1 4\neq 0=P(\xi=1)P(\eta+\zeta=2)$

Хороший пример. Особенно хорош тем, что проще уже нельзя.

[Алина:)]

туплю с условным математическим ожиданием(
Рассматриваем случайную величину $\xi=t$. Надо рассмотреть $P(max\left\{\xi,\eta \right\}\leqslant x|\xi=t)$. Если t>x,то max меньше быть не может, а если $t\leqslantx$, то требуем $\eta\leqslant x, P(\eta\leqslant x)=G(x)$. по формуле условной вероятности должны поделить на $P\left\{\xi=t\right\}=F'(t)$

[--mS--]

Алина:) в сообщении #366556 писал(а):

туплю с условным математическим ожиданием(
Рассматриваем случайную величину $\xi=t$. Надо рассмотреть $P(max\left\{\xi,\eta \right\}\leqslant x|\xi=t)$. Если t>x,то max меньше быть не может, а если $t\leqslantx$, то требуем $\eta\leqslant x, P(\eta\leqslant x)=G(x)$.

И каков же ответ?

Алина:) в сообщении #366556 писал(а):

по формуле условной вероятности должны поделить на $P\left\{\xi=t\right\}=F'(t)$

Можете написать, чему равна $\mathsf P(\xi < 5 | \xi =3)$? Выбирайте: будет ли это $1$ или $1/\mathsf P(\xi=3)$?

Я в общем понимаю источник недоумения. Если Вы хотите пользоваться (в каком-то виде) определением условной вероятности, то в числителе останется вероятность пересечения событий. Двух, по условию независимых - одно про $\eta$, другое - про $\xi$, и это другое - то же самое, что в знаменателе. Сократятся они. Нет никакого деления, если Вы вместо одной из двух независимых величин подставите её значение из условия.

[Алина:)]

Цитата:

Можете написать, чему равна $\mathsf P(\xi < 5 | \xi =3)$? Выбирайте: будет ли это $1$ или $1/\mathsf P(\xi=3)$?

1

[--mS--]

Алина:) в сообщении #366595 писал(а):

1

Ну вот, и ни на что не делили :)

[Алина:)]

То есть можно записать $P(max\left\{t,\eta\right\}\leqslant x)$,что значит, $P(\eta\leqslant x, t\leqslant x)$, и величины не зависимы. а что же с этим дальше делать?

[--mS--]

Алина:) в сообщении #366613 писал(а):

То есть можно записать $P(max\left\{t,\eta\right\}\leqslant x)$,что значит, $P(\eta\leqslant x, t\leqslant x)$, и величины не зависимы. а что же с этим дальше делать?

Вычислить как функцию от $t$ и $x$. Вы это уже пару раз проделали. Ответ напишите, какой получился. И замените в нём $t$ на $\xi$.

[Алина:)]

$ \left\{ \begin{array}{l} G(x) , t\leqslant x,\\ 0 , t>x \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} G(x) , \xi\leqslant x,\\ 0 , \xi>x \end{array} \right. $

[--mS--]

Верно.

[Алина:)]

Спасибо Вам огромное!


То есть последняя система из предпоследней получается на основе формулы
$p(\eta(\omega))=P(\chi|\eta)(\omega)$, где $p(y)=P(\chi|\eta=y)$ (правда, такое определение было найдено лишь для мат. ожиданий)?

[--mS--]

Алина:) в сообщении #367020 писал(а):

То есть последняя система из предпоследней получается на основе формулы
$p(\eta(\omega))=P(\chi|\eta)(\omega)$, где $p(y)=P(\chi|\eta=y)$ (правда, такое определение было найдено лишь для мат. ожиданий)?

Ну так а вероятность и есть математическое ожидание индикатора. Ещё стоило бы добавить к первому равенству (и к Вашему ответу) "почти наверное", поскольку, вообще говоря, любая функция, совпадающая с вероятностью 1 с полученной, тоже будет УМО. Поэтому "найти УМО" - предъявить семейство случайных величин, совпадающих почти наверное, а Ваш ответ - лишь один из представителей этого семейства.