Собственные значения и транспонирование

[Alexandra_K]

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей.

Пусть $F:\mathbb{R}^{k}\to\mathbb{R}^{k}$ - непрерывно дифференцируемое отображение;
$F_{n}(x)$ - $n$-я итерация отображения $F(x)$, т.е. $F_{1}(x)=F(x)$, $F_{n}(x)=F(F_{n-1}(x))$;
$J_{n}(x)=(F_{n}(x))’$ - матрица Якоби отображения $F_{n}(x)$;
$\lambda_{n}^{(1)}(x), \lambda_{n}^{(2)}(x), \ldots, \lambda_{n}^{(k)}(x)$ - собственные значения матрицы $J_{n}(x)$;
$\mu_{n}^{(1)}(x), \mu_{n}^{(2)}(x), \ldots, \mu_{n}^{(k)}(x)$ - собственные значения матрицы $(J_{n}(x))^{T}J_{n}(x)$.

Верно ли, что для любого $i=\overline{1,k}$ $\lim\limits_{n\to\infty}\big|\lambda_{n}^{(i)}(x)\big|^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\big(\mu_{n}^{(j)}(x)\big)^{\frac{1}{2n}}$ для некоторого $ j=\overline{1,k}$?

Для фиксированного $n$ равенство $|\lambda_{n}^{(i)}(x)|= \big(\mu_{n}^{(j)}(x)\big)^{\frac{1}{2}}$ вообще говоря не верно...