Помочь ортогонализовать

[Con-Serv]

Здравствуйте.
В ходе решения задачи появились функции в $L_2$:
$\[\begin{gathered} {u_{2m - 1}}(x,\lambda ) = \left\{ \begin{gathered} \sin (2m - 1)x \hfill \\ \sin (2m - 1)x \hfill \\ \sin (2m - 1)x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ u_{2m}^1(x,\lambda ) = \left\{ \begin{gathered} \sin 2mx \hfill \\ 0 \hfill \\ \sin 2mx \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ u_{2m}^2(x,\lambda ) = \left\{ \begin{gathered} 0 \hfill \\ \sin 2mx \hfill \\ \sin 2mx \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]$
Очевидно пары функций $\[{u_{2m - 1}}(x,\lambda )\]$, $\[u_{2m}^1(x,\lambda )\]$ и $\[{u_{2m - 1}}(x,\lambda )\]$, $\[u_{2m}^2(x,\lambda )\]$ ортогональны.
Не могу ортогонализовать $\[u_{2m}^1(x,\lambda )\]$ и $\[u_{2m}^2(x,\lambda )\]$, чтобы получить ортонормальную систему функций. Есть наметки в ответах, но хочется посмотреть на сам процесс ортогонализации, может я что-то не так делаю.
Заранее спасибо

[Dan B-Yallay]

Мне непонятна постановка вопроса.

1) На каком множестве рассматривается пространство $L_2$ ?

2) На каком множестве последние два семейства функций равно нулю?

[Con-Serv]

$\[{L_2}(\Gamma )\]$ это геометрический граф с 3 ребрами.

$\[{u_{2m - 1}}(x,\lambda ) = \left\{ \begin{gathered} \sin (2m - 1)x,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ \sin (2m - 1)x,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ \sin (2m - 1)x,x \in [\pi /2,\pi ] \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

$\[u_{2m}^1(x,\lambda ) = \left\{ \begin{gathered} \sin 2mx,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ 0,x[0,\pi /2] \hfill \\ \sin 2mx,x \in [\pi /2,\pi ] \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

$\[u_{2m}^2(x,\lambda ) = \left\{ \begin{gathered} 0,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ \sin 2mx,x[0,\pi /2] \hfill \\ \sin 2mx,x \in [\pi /2,\pi ] \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Граф такой $\[[0,\pi /2] \cup [\pi /2,\pi ]\]$.

В итоге получается, но не пойму как
$\[{u_{2m - 1}}(x,\lambda ) = \frac{2}{{\sqrt {3\pi } }}\left\{ \begin{gathered} \sin (2m - 1)x,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ \sin (2m - 1)x,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ \sin (2m - 1)x,x \in [\pi /2,\pi ] \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

$\[u_{2m}^1(x,\lambda ) = \frac{2}{{\sqrt {3\pi } }}\left\{ \begin{gathered} \sqrt {\frac{3}{2}} \sin 2mx,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ 0,x[0,\pi /2] \hfill \\ \sqrt {\frac{3}{2}} \sin 2mx,x \in [\pi /2,\pi ] \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

$\[u_{2m}^2(x,\lambda ) = \frac{2}{{\sqrt {3\pi } }}\left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2mx,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ \sqrt 2 \sin 2mx,x[0,\pi /2] \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2mx,x \in [\pi /2,\pi ] \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Непонятно, как получаются в итоге эти функции. Но вроде это верно. Подскажите как получается такое. Спасибо

[Con-Serv]

Интересно, как это можно получить с помощью процесса Грамма-Шмидта

[ewert]

Con-Serv в сообщении #365928 писал(а):

В итоге получается, но не пойму как

Я тоже не пойму. У Вас первые строчки систематически противоречат вторым.

[Con-Serv]

ewert
Почему противоречат?

-- Пн окт 25, 2010 10:39:24 --

Dan B-Yallay
Вроде написал, что вас и интересовало

[ewert]

Con-Serv в сообщении #365948 писал(а):

Почему противоречат?

Ну, например, вот это:

Con-Serv в сообщении #365928 писал(а):

$\[u_{2m}^1(x,\lambda ) = \left\{ \begin{gathered} \sin 2mx,x \in [0,\pi /2] \hfill \\ 0,x[0,\pi /2] \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

-- явное противоречие. Я, в принципе, могу смутно догадаться, что имелось в виду, но лучше бы Вы всё-таки исправили запись.

[Con-Serv]

Все правильно, просто это же граф. На одном ребре такое значение функции. На втором ребре второе, на третьем иное. А справа это параметризация такая

[ewert]

Con-Serv в сообщении #365951 писал(а):

это же граф

Ну Вы хотя бы индексиками эти отрезки снабдили -- так, для приличия.

А грамошмидтовость -- да, в некотором смысле это она. Внутри каждой пары. Каждая новая вторая функция -- это копроекция старой второй на старую первую (с точностью до нормировки):

$(0,1,1)-\mathrm{pr}_{(1,0,1)}(0,1,1)=(0,1,1)-(1,0,1)\cdot{1\over2}=(-{1\over2},1,{1\over2})$.

Не очень понятен, правда, смысл всей этой бурной деятельности -- полноты-то ведь всё равно никакой.

[Dan B-Yallay]

Con-Serv писал(а):

Dan B-Yallay
Вроде написал, что вас и интересовало

Я в другом часовом поясе.
Как в вашем пространстве $L_2(\Gamma)$ задается скалярное произведение?
Выпишите формулу.

[Con-Serv]

Все решил. Спасибо за помощь.