2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Чебышева
Сообщение01.09.2006, 18:32 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
В книжке Жукова "Вездесущее число $\pi$" написано (с. 157-158), что задача Чебышева "Какова вероятность того, что наудачу выбранная дробь несократима?" имеет ответ $6/\pi^2$, что больше 0.6.

Очевидно, что в буквальном смысле это ответ неверный, поскольку сократимых дробей все же больше, чем несократимых, и на самом деле решается несколько другая задача: сначала рассматриваются дроби с ограниченными числителем и знаменателем и вычисляется соответствующая вероятность, а затем ограничение устремляется к бесконечности... Поэтому у меня вопрос: а нельзя ли как-нибудь обойтись без предельного перехода? Нельзя ли, чтобы не предложение определяло спрос - когда мы приходим и хватаем первую дробь, что нам попадается, а чтобы спрос определял предложение и выбор чаще приходился на "полезные" нам дроби...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.09.2006, 13:56 


02/09/06
3
Цитата:
сократимых дробей все же больше, чем несократимых

столько же :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.09.2006, 15:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
fre писал(а):
Цитата:
сократимых дробей все же больше, чем несократимых

столько же :D

Их количество бесконечность, только разные бесконечности по разному соотносятся.
Что касается существа вопроса "бобыля", то это упрощённый подсчёт, когда все числа в числителе и знаменателе считаются одинаковыми. На практике это естественно не выполняется. Если опросить каждого жителя (статистика чисел примерно из 6,5 миллиарда), то некоторые числа встетится несколько раз, а бесконечное множество дробей вовсе не встретится. Однако, никакой статистики не хватит для определения с какой вероятностью будет встречаться та или иная дробь, а потому, нельзя подсчитать точное значение этой вероятности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.09.2006, 17:13 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Рассмотрим воображаемый рынок, поделенный на доли $x_n$ (положительные) между бесконечным числом торговцев $n$: $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n = 1$, которые торгуют... дробями по "цене" $\frac 1 n$ и все вместе максимизируют по $x_n$ "выручку" $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n \sqrt{x_n}$.

Тогда, если я не ошибаюсь, $x_n = \frac{6}{{\pi^2 n^2}}$ и, в частности, $x_1 = \frac{6}{{\pi}^2}$, т.е. получается, что самый крупный торговец торгует и самыми дорогими дробями, а именно несократимыми (вспоминая задачу Чебышева), тогда как остальные торговцы $n$, помельче, торгуют какими-то другими дробями, подешевле, я вот только никак не соображу, какими именно: наверное, сократимыми на $n$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 21:41 


18/10/06
11
Воронеж
Фамилия Чебышёв пишется через букву ё. Он сам очень на этом настаивал.
Мне рассказывали про случай, когда известный математик прогнал докладчика с семинара (тоже не мальчика) за извращение знаменитой фамилии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.10.2006, 15:32 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Моя фамилия вполне аналогична и тоже произносится через ё, но в паспорте у меня ее (точек над е) нет. И с семинаров из-за меня никого не выгоняют. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group