Интегральные уравнения, интергальные операторы

[Ashley]

Такой вопрос... Нет ли наглядной физической интерпретации сабжа? Простой задачи, в которой невооруженным глазом можно увидеть работу интегрального оператора, чтобы например из самой задачей было ясно, какие у него должны быть собственные функции.
А то же самое но так, чтобы задача приводила исключительно к самосопряженным операторам? И иллюстрировала свойства их спектра?
К компактным?
Лучше - не из квантовой механики, лучше что-нибудь более наглядное.
Это просто желание углубить наглядные представления именно об этом, да, простом вопросе...

[Munin]

Более наглядное чем квантовая механика - это, наверное, уравнения матфизики, всякие колебания струн, мембран, воздуха в резонаторах, и прочие нагревающиеся болванки. Но так, чтобы совсем наглядное - не знаю. Боюсь, тут придётся просто привыкать ко всей этой механике.

[Ashley]

Оох, я же уже создал тему, совсем забыл...
Ладно. Урматы, значит.
Ээ кажется, да, действительно - стоячие волны, появляющиеся в задаче Шт.-Л. ограниченной струны, с течением времени переходят в пропорциональные себе - они были бы ясным примером собственных функций, только я не могу понять, какого оператора. Оператора, действующего как переход к другому моменту времени? Не понимаю...

[Munin]

Ну, давайте вы дифуры выпишете, а потом будем искать в них операторы.

[Ashley]

И правда.

Только наглядный смысл задачи Штурма-Лиувилля я представляю себе еще хуже. Но если заодно прояснится и он, то будет вообще хорошо. Почему собственных функций - полный набор? Наверное, этот самый оператор самосопряжен. А как это вообразить себе исходя из чего-то простого - бог его знает...

$ u_{xx} = u_{tt} u = XT X''/X=T''/T=-k^2 $
Пусть, например, так:
$ X''=-kX X(0)=X(l)=0 $
Решения-синусы, соответствующие $k=2 \pi n / l$, называются собственными функциями (задачи) - наверное, имеется в виду оператор второй производной - но он по ходу не самосопряжен ($\int f''g dx = f'g - fg' + \int fg''dx$) - и тогда почему система СФ полна я совсем не понимаю.

Кроме того, мотивация названия "собственные функции" может быть, видимо, и другой. Такой: когда мы ищем решение в виде произведения функции, зависящей только от времени на функцию, зависящую только от координаты, мы тем самым ищем функцию профиля струны $X$, которая с течением времени остается пропорциональной самой себе - будто бы является СФ неведомого оператора, действующего подобно течению времени. Как-то так.

Вообще, я уже и сам не знаю точно, чего хочу. Слишком много неясного, а беспокоиться об интуитивном понимании вообще обычно неблагодарное дело...

Кстати, может, заодно ответите на такой вопрос - правда ли, что самосопряженные операторы - это в точности те, которые диагонализуемы?

[Munin]

Почему оператор не самосопряжён? Мы же имеем дело с функциями на интервале, тогда ваша запись превращается в

$$\int\limits_0^l g\frac{\partial^2}{\partial x^2}f\,dx = g\frac{\partial}{\partial x}f\biggr\rvert_0^l - f\frac{\partial}{\partial x}g\biggr\rvert_0^l + \int\limits_0^l g\frac{\partial^2}{\partial x^2}f\,dx$$

а тут первые два слагаемых равны $0,$ поскольку функции берутся на концах отрезка. Короче, ваше первое понимание названия "собственные функции" правильное. Более полно и менее "интуитивно наощупь" всё это изучается в курсе функана, а он, к сожалению, зачастую не предшествует ураматам и квантовой механике.

Ashley в сообщении #368021 писал(а):

Кстати, может, заодно ответите на такой вопрос - правда ли, что самосопряженные операторы - это в точности те, которые диагонализуемы?

Нет, например,

$$\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&2\end{array}\right)$$

не самосопряжён, но диагонализуем. Возможно, вы имели в виду диагонализуем ортогональными преобразованиями? Тогда да, по крайней мере в конечномерном случае.

[Ashley]

Ортогональными же, точно. конечно.

Самое неприятное, что положенный на при. мат. курс функана (один семестр) уже позади, и не смотря на отл в зачетке не оставил понимания кучи практически значимых вещей. Теперь приходится рассчитывать в основном на интернеты...

Так. Отлично. Действительно, прояснилось. Спасибо

[Munin]

(Оффтоп)

Вообще, это бывает, когда предмет понимается уже после того, как "проходится". Свыкнуться со сложными вещами, сделать их "своими" - на это уходит время, а на лекциях материал даётся бегом. Так что нормально перечитывать и доучивать то, что не понято, только лучше опираться не на интернеты, а на конспекты и хорошие учебники (в интернетах же и лежащие).

[ewert]

Munin в сообщении #368036 писал(а):

Возможно, вы имели в виду диагонализуем ортогональными преобразованиями? Тогда да, по крайней мере в конечномерном случае.

Да нет же, конечно. Диагонализуемость ортогональными преобразованиями -- это "нормальность", частным случаем которой самосопряжённость и является. А другим частным случаем является (к примеру) -- в некотором смысле наоборот, унитарность.

Ashley в сообщении #368021 писал(а):

Только наглядный смысл задачи Штурма-Лиувилля я представляю себе еще хуже. Но если заодно прояснится и он, то будет вообще хорошо. Почему собственных функций - полный набор?

Не представляю себе, как можно представить себе "наглядный смысл" З.Ш.-Л. самой по себе. Ну вот есть она, та задача -- и всё тут.

А вот почему набор собственных функций именно полон -- это уже другой вопрос, это уже вполне конкретно. Потому, что оператор, обратный к оператору Штурма-Лиувилля -- тоже самосопряжён (что естественно, конечно, хотя формально не так уж и очевидно), но при этом (главное) -- ещё и компактен.

[Munin]

Да, извините.