Найти предел рекурретной последовательности...

[MetaMorphy]

Дано действительное число $x$. Последовательность $a_n$ действительных чисел зададим равенствами

$$a_0=x,\qquad a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n^2+1}.$$

Требуется найти предел $\lim_{n\to\infty}a_n/2^n$ (естественно, доказав, что он существует).

Школьных знаний вроде бы вполне достаточно. Прав ли я? (в ограниченном смысле насчёт доказательства)

(Решение не интересует - интересно, можно ли это считать "олимпиадной" математической задачей для первокурсников, или она слишком проста - или наоборот, слишком сложна - для них.)

[Хорхе]

А написать рекуррентное соотношение для $a_n/2^n$ слабО? Так вроде сразу все понятно станет.

[MetaMorphy]

Хотел было сказать - дык напишите тогда ответ к задаче. Но потом передумал - тогда и решение очевидным станет...

Хотя, и интригам должен приходить конец рано или поздно - ответ в студию)

(Update - я всё-таки жду ответа. Подчеркну - задача вполне осиливаемая школьниками. Ответ рядом.)

[Padawan]

Для $b_n=\frac{a_n}{2^n}$ получается рекуррентное соотношение
$b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(b_n+\sqrt{b_n^2+\frac{1}{4^n}}\right)$.
Неужели в пределе что-то простое получается? Сходимость просто доказывается.

[EtCetera]

Заменой $a_n=\tg\varphi_n$ школьник может свести предел к
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ctg\left(\dfrac{\frac{\pi}{2}-\varphi_0}{2^n}\right)}{2^n}=\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}-\varphi_0}$

[MetaMorphy]

Ответ получен (ещё проще выполнить замену $a_n=\ctg\varphi_n$), вопрос остался... хотя актуальность уже потерял ;)