Задача по теории вероятностей: сумасшедшая старушка

[ggg]

Все равно неясно как решать(

[Cash]

Уже привели несколько решений...

Пусть вероятность равна $p$. Изменится ли вероятность, если поменять билет последнего пассажира со старушкой? Учитывая, что остается всего 2 места - какое уравнение тогда можно выписать?

[ewert]

ну, тут есть товарищи, которым это очевидно. Мне-то это совсем не очевидно, но это означает лишь, что я не вполне адекватен (поскольку тупой подсчёт ровно половинку и даёт, а почему ровно -- строго говоря, не знаю).

-- Пт окт 22, 2010 21:17:00 --

Cash в сообщении #364962 писал(а):

Изменится ли вероятность, если поменять билет последнего пассажира со старушкой?

Неизвестно. Вообще говоря. Поскольку условия постановки опыта, в.г., изменятся.

[ggg]

Cash, я не понимаю Вас. Не изменится, разве из этого что-то следует ? Что Вы имеете ввиду, говоря "останутся всего 2 места". По-моему, это еще вопрос, останутся ли.

PS Приведенные выше "решения" я не знаю как до конца довести, поэтому и спрашиваю

[Cash]

Цитата:

Неизвестно. Вообще говоря. Поскольку условия постановки опыта, в.г., изменятся

Порядок занимаемых мест не меняется при смене билетов последнего пассажира и старушки

Цитата:

Не изменится, разве из этого что-то следует ? Что Вы имеете ввиду, говоря "останутся всего 2 места". По-моему, это еще вопрос, останутся ли.

Все-таки не вопрос. Свободными могут быть либо место старушки либо место последнего пассажира. Доказательство я уже приводил.
Если поменять билеты старушки и последнего пассажира, то вероятность с одной стороны останется равной $p$.
С другой стороны - она равна $1-p$. Имеем : $p=1-p$

[ggg]

Cash, прочитал с самого начала отдельно только Ваши сообщения, вроде понял, спасибо.
Как я бы сформулировал:
Допустим
1) бабка села на свое место, тогда последний пассажир сядет на свое.
2) бабка села на его место, тогда остальные пассажиры (кроме последнего) сядут на свои места, а последний на место бабки
3) бабка села на еще какое-то место, не свое и не последнего, тогда рано или поздно зайдет тот, чье место она заняла, и сядет либо на а) место бабки б) место последнего пассажира в) еще чье-то место.
в случае а) все остальные пассажиры займут свои места и останется место последнего пассажира
в случае б) все остальные пассажиры займут свои места и останется только место бабки
случай в) имеет такие же варианты развития, как и 3 пункт. Если будет постоянно случай в) (т.е. пассажиры всегда будут садиться на чье-то место), то к моменту захода предпоследнего останется только два места - бабки и последнего пассажира.

Эта лемма показывает, что последний пассажир может сесть либо на место бабки, либо на свое. Сядет на место бабки с вероятностью $p$, тогда сядет на свое место с вероятностью $1-p$. Так как, заменив билеты, мы не изменим вероятность, то $p=1-p$

Ответ $p=\frac {1} {2}$

Я Вас правильно понял?

[Cash]

немного запутано у вас получается, но идея схвачена

[TOTAL]

ewert в сообщении #364725 писал(а):

TOTAL в сообщении #364689 писал(а):

либо на место $k$-го пассажира, превращая его в бабку.

Ну это понятно, а дальнейшая логика -- нет. С какой стати все вероятности одинаковы -- да и с какой стати складываются-то?

Опыт-то ведь -- двухуровневый (на каждом шаге). Сперва наугад выбирается пассажир, а потом уже этот пассажир наугад (если понадобится) выбирает место.

Конечно, спорить с тем, что ответ 1/2 -- трудно. Однако аргументация -- непонятна.

$P_n$ - так обозначим вероятность того, что первый с конца пассажир сядет на своё место, если всего пассажиров $n$ штук, причём $n$-ая с конца (садится первая) - это бабка.
Равенство вероятностей $P_n =P_{n-1}$- это следствие из
$P_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}P_{n-1}+ \cdots + \frac{1}{n}P_{2}$$
$P_{n-1}=\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}P_{n-2}+ \cdots + \frac{1}{n-1}P_{2}$
Сама формула $P_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}P_{n-1}+ \cdots + \frac{1}{n}P_{2}$ означает, что либо бабка села с вероятностью $\frac{1}{n}$ на своё место (после чего первый с конца пассажир наверняка сядет на своё место), либо бабка с вероятностью $\frac{1}{n}$ сядет на место $k$-го с конца пассажира (который теперь ведёт себя неотличимо от бабки, поэтому в этом случае первый с конца пассажир сядет на своё место с вероятностью $P_{k}$)


Задачу можно ещё чуть запутать (ответ будет маленько зависеть от $n$), сделав бабку ещё более бешеной, т.е. сначала бабка вставляет себя в произвольное место в очереди, а когда забежит в самолё, садится на произвольное свободное место.

[ewert]

TOTAL в сообщении #365166 писал(а):

, либо бабка с вероятностью $\frac{1}{n}$ сядет на место $k$-го с конца пассажира (который теперь ведёт себя неотличимо от бабки, поэтому в этом случае первый с конца пассажир сядет на своё место с вероятностью $P_{k}$)

Да, это разумно. Только не хватает двух деталек:

1) указания на то, что в этом предположении $k$-тый пассажир сядет на чужое место с единичной вероятностью (формальность, конечно, но без этого получается формальный пробел в теореме умножения вероятностей);

2) доказательства того, что в наборе оставшихся мест отсутствует только $k$-тое место, а для всех оставшихся пассажиров места в наличии есть (это действительно надо доказывать).

---------------------------------
Я считал в лоб. Предположим, что $P_n$ -- вероятность того, что последний сядет на чужое место при условии, что бабка села на чужое. Тогда

$P_n=\left(\dfrac{n-2}{n-1}+\dfrac{1}{n-1}\cdot\dfrac{n-2}{n-1}\right)\cdot P_{n-1}$

(первое слагаемое -- вероятность того, что второму удастся сесть на своё место и второе -- того, что ему придётся выбирать и что он выберет не бабкино место). Тогда $P_n=\dfrac{n(n-2)}{(n-1)^2}\cdot P_{n-1}$, откуда $P_n=\dfrac{n!(n-2)!}{2(n-1)!^2}=\dfrac{n}{2(n-1)}$ (двойка внизу потому, что $P_2=1$), и после умножения на $\dfrac{n-1}{n}$ (вероятность того, что бабка сядет на чужое) получаем, что полная вероятность последнему сесть на чужое равна половинке.

[TOTAL]

ewert в сообщении #365179 писал(а):

2) доказательства того, что в наборе оставшихся мест отсутствует только $k$-тое место, а для всех оставшихся пассажиров места в наличии есть (это действительно надо доказывать).

Все пассажиры (включая бабку) обычные однозадые люди (в условии не сказано противного). Поэтому предыдущая бабка заняла всего одно чужое место. Поэтому места всех оставшихся пассажиров (за исключением вновь образовавшейся бабки) свободны. Доказано.