уравнение в L^\infty

[moscwicz]

Рассмотрим непрерывную функцию $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ с ограниченным множеством значений. Доказать, что уравнение $u(x)=f(x,u(x))$имеет решение $u\in L^\infty(\mathbb{R})$.

[Хорхе]

То ли я туплю, то ли берем просто график $f$ и пересекаем подходящей плоскостью.

[moscwicz]

а почему то, что получится будет измеримой фцнкцией?

[Хорхе]

(Ура, у меня не стали спрашивать, почему получится! Но вообще вопрос про измеримость, конечно, поинтересней.)

Получившийся "график" (в кавычках потому, что для одного $x$ может быть много $y$) будет измеримым и иметь полную проекцию на координату $x$, так что из этого графика можно выбрать измеримую функцию по теореме про измеримый выбор (видимо, достаточно ограничиться наименьшим и обойтись без теоремы про измеримый выбор, но мне лень доказывать измеримость).

[moscwicz]

Да про теорему об измеримом выборе, это я приму к сведению. Мое доказательство основано на прямом применении леммы Цорна.

[Padawan]

А что за теорема об измеримом выборе?

[Хорхе]

Там куча их, мне пригодилась только такая формулировка из Делашери и Мейера "Вероятности и потенциал" (пишу по памяти, могу где-то немного приврать):
Пусть $\mu$ -- $\sigma$-конечная мера на $(\Omega,\mathcal F)$, $X$ -- польское пространство с борелевской $\sigma$-алгеброй, дополнение к проекции $\mathfrak A \in \mathcal F \otimes \mathcal B(X)$ на $\Omega$ имеет меру $0$. Тогда существует такая измеримая функция $f\colon \Omega\to X$, что $(\omega,f(\omega))\in\mathfrak A$ для почти всех $\omega$. Как-то так.

[moscwicz]

Дайте пожалуйста точную ссылку, книга не ищется через поисковик

[Хорхе]

Dellacherie, Meyer Probabilities and Potential A North Holland Publishers (есть еще книжка Мейера "Вероятность и потенциалы", даже переведенная, так это другая книга и там этого факта нет ).

Хотя там, как я говорил, не лучший вариант (скажем, с ее помощью здесь получается лишь универсально измеримая (в данном случае по Лебегу) функция; чтобы получить борелевскую, надо использовать теоремы, связанные с многозначными отображениями). Если Вам интересны именно теоремы про измеримый выбор, лучше поищите "measurable selection theorem" и "measurable choice theorem".

Впрочем, книга хороша не только этим, на фрибуках донтекзистах можно скачать.

-- Пт окт 22, 2010 10:29:27 --

(На всякий случай: проверил, существование такой борелевской функции здесь и вправду следует из теоремы Куратовского--Рыль-Нардзевского, Kuratowski--Ryll-Nardzewski.)

[moscwicz]

В порядке алаверды: Богачев Теория меры том 2