Двойной интеграл. Не могу найти объём

[Dilettante]

Приветствую! Необходимо определить объём, ограниченный сферой $x^2+y^2+z^2=a^2$ и областью $x^2+y^2 \geqslant a\left| x \right|$, перейдя в полярные координаты. В общем всё это у меня свелось к интегралу

$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi\int\limits_{-acos\phi}^{a}\rho\sqrt{(a^2-\rho^2)}d\rho$$

С его помощью я пытался найти часть искомого объёма (как мне показалось, этот интеграл вычисляет его 1/4 часть). Но он обратился в ноль, хоть и все первообразные правильно найдены (калькулятором проверил). В общем, видимо не то что-то составил. Подскажите, как правильно расчитать.

[Хорхе]

А что, $\rho$ может быть отрицательным? Аккуратно проверьте границы интегрирования.

(Но там еще где-то ошибка есть.)

[caxap]

Dilettante
Пределы неверные. По мне, так удобней считать $1/8$ часть (которая в первом октанте). Интеграл получается не нулевой (кстати, ваш -- тоже).

[vvvv]

По-моему, Вам нужно найти объем такой скибочки арбуза.
Естественно размеры скибочки зависят от а. Картинки для а=2, а=1/4.



-- Чт окт 21, 2010 01:01:12 --

Dilettante в сообщении #364088 писал(а):

Приветствую! Необходимо определить объём, ограниченный сферой $x^2+y^2+z^2=a^2$ и областью $x^2+y^2 \geqslant a\left| x \right|$, перейдя в полярные координаты. В общем всё это у меня свелось к интегралу

$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi\int\limits_{-acos\phi}^{a}\rho\sqrt{(a^2-\rho^2)}d\rho$$

С его помощью я пытался найти часть искомого объёма (как мне показалось, этот интеграл вычисляет его 1/4 часть). Но он обратился в ноль, хоть и все первообразные правильно найдены (калькулятором проверил). В общем, видимо не то что-то составил. Подскажите, как правильно расчитать.

По-моему, удобней использовать тройной интеграл и перейти к сферическим координатам.

[Dilettante]

2Хорхе, Сахар
Значит таки с пределами ошибся, буду перепроверять, спасибо за указание

2vvvv
Ну мы ещё к сожалению до тройных не дошли) Кстати, а в чём построены рисунки? (если не секрет)

[ewert]

vvvv в сообщении #364253 писал(а):

По-моему, удобней использовать тройной интеграл и перейти к сферическим координатам.

Крайне неудобно. Поскольку это вовсе не скибочка. А нечто между сферой и двумя соприкасающимися цилиндрами, которые для сферических координат очень нехороши.

(кстати, в условии не уточнено, какую из двух областей надо считать; по умолчанию, видимо -- внутри цилиндров)

[vvvv]

ewert в сообщении #364361 писал(а):

vvvv в сообщении #364253 писал(а):

По-моему, удобней использовать тройной интеграл и перейти к сферическим координатам.

Крайне неудобно. Поскольку это вовсе не скибочка. А нечто между сферой и двумя соприкасающимися цилиндрами, которые для сферических координат очень нехороши.

(кстати, в условии не уточнено, какую из двух областей надо считать; по умолчанию, видимо -- внутри цилиндров)

Упростим задачу, а именно:
положим а=1 и уберем знак модуля при х в неравенстве.
Чему будет тогда равен искомый объем?

-- Чт окт 21, 2010 14:02:46 --

Dilettante в сообщении #364347 писал(а):

2Хорхе, Сахар
Значит таки с пределами ошибся, буду перепроверять, спасибо за указание

2vvvv
Ну мы ещё к сожалению до тройных не дошли) Кстати, а в чём построены рисунки? (если не секрет)

Можно и через двойной. Картинки сделаны в Маткаде.

-- Чт окт 21, 2010 14:22:50 --

Ув., ewert, почему же Вы молчите? Упрощенный вариант задачи-то решается в уме

[ewert]

vvvv в сообщении #364373 писал(а):

Упрощенный вариант задачи-то решается в уме

Я не сомневаюсь в могучести Вашего ума. Но сомневаюсь, что ответ у Вас получится правильным.

Да, кстати:

Dilettante в сообщении #364088 писал(а):

Но он обратился в ноль,

Вы, скорее всего, забыли, что это такое -- корень из квадрата. (Ну и пределы по радиусу тоже всё-таки не те.)

[vvvv]

ewert в сообщении #364383 писал(а):

vvvv в сообщении #364373 писал(а):

Упрощенный вариант задачи-то решается в уме

Я не сомневаюсь в могучести Вашего ума. Но сомневаюсь, что ответ у Вас получится правильным.

Так дайте правильный ответ

[caxap]

vvvv в сообщении #364253 писал(а):

По-моему, Вам нужно найти объем такой скибочки арбуза.

По-моему, рисунок у вас не совсем тот. Там в проекции на $Oxy$ будет такой "пучеглазик". Т. е. в шаре делаются две дырки (двумя цилиндрами) и вот объём получившегося обрубка надо найти. У топикстартера всё верно, кроме пределов: непонятно, откуда минус взялся в $-a\cos\phi$, ну и (на всякий случай) лучше посчитать по $\phi$ в пределах одной четверти, а потом просто умножить ответ на 8.

ewert в сообщении #364361 писал(а):

по умолчанию, видимо -- внутри цилиндров)

По-моему, наоборот, там же -- $x^2+y^2\,{\color{blue}\geqslant} \,a\left| x \right|$

(Рисунок)

[ewert]

caxap в сообщении #364396 писал(а):

По-моему, наоборот, там же -- $x^2+y^2\,{\color{blue}\geqslant} \,a\left| x \right|$

А-а, на неравенство я и впрямь не обратил внимания. Тогда у автора вроде бы действительно всё верно (с точностью до знака нижнего предела, конечно, ну и потери модуля по ходу интегрирования).

[vvvv]

Я немного подумал - оказывается ewert прав.Искомый объем будет равен объему шара
за вычетом объемов двух цилиндров, касающихся по оси OZ.
Сбил с толку модуль - не думая взял у=a*|x|. Отсюда и скибочка. А нужно выделить полный квадрат и получим два цилиндра
Вечером постараюсь нарисовать картинку.Кривая пересечения сферы с цилиндром - кривая Вивани.

-- Чт окт 21, 2010 17:05:01 --

caxap в сообщении #364396 писал(а):

vvvv в сообщении #364253 писал(а):

По-моему, Вам нужно найти объем такой скибочки арбуза.

По-моему, рисунок у вас не совсем тот. Там в проекции на $Oxy$ будет такой "пучеглазик". Т. е. в шаре делаются две дырки (двумя цилиндрами) и вот объём получившегося обрубка надо найти. У топикстартера всё верно, кроме пределов: непонятно, откуда минус взялся в $-a\cos\phi$, ну и (на всякий случай) лучше посчитать по $\phi$ в пределах одной четверти, а потом просто умножить ответ на 8.

ewert в сообщении #364361 писал(а):

по умолчанию, видимо -- внутри цилиндров)

По-моему, наоборот, там же -- $x^2+y^2\,{\color{blue}\geqslant} \,a\left| x \right|$

(Рисунок)

Да - не тот. У Вас тот, только рванный. Это Мэпл или Математика так построили?

[caxap]

(Оффтоп)

vvvv в сообщении #364430 писал(а):

У Вас тот, только рванный. Это Мэпл или Математика так построили?

Mathematica. "Рваный" потому что я специально ограничил "разрешение", чтобы быстрее рисовалось. И так понятно

a = 2; RegionPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 <= a^2 && x^2 + y^2 >= a Abs[x], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}, PlotPoints -> 50]

[vvvv]

caxap в сообщении #364437 писал(а):

(Оффтоп)

vvvv в сообщении #364430 писал(а):

У Вас тот, только рванный. Это Мэпл или Математика так построили?

Mathematica. "Рваный" потому что я специально ограничил "разрешение", чтобы быстрее рисовалось. И так понятно

a = 2; RegionPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 <= a^2 && x^2 + y^2 >= a Abs[x], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}, PlotPoints -> 50]

Ясно

[Dilettante]

2Сахар
Пересмотрел своё решение и сам не понял, почему стоит минус в нижнем пределе по $\rho$... Может строчки наползли одна на одну или ещё чего.

2Ewert
А, вот это значит я ещё упустил: $z=\left|\sqrt{a^2-x^2+y^2}\right|$ ?