Биномиальные коэффициенты

[Trius]

Как посчитать сумму $\sum_{k=0}^n kC_{n}^{k}C_{N-m}^{m-k}$?

[Leox]

В условии все правильно? Maple дает такой ответ
\begin{gather*} {1\choose n}{m-1\choose N-m}{\it hypergeom} \left( [2,2,1-2\,m+N],[-m+ 1,-n+2],1 \right) -\\-{m-1-n\choose N-m} \left( n+1 \right) ^{2}{\it hypergeom} \left( [1,2+n,n-2\,m+N+1],[2,-m+n+1],1 \right) -\\-1/2\,{ \frac {{m-1-n\choose N-m} \left( 2+n \right) \left( n+1 \right) \left( n-2\,m+N+1 \right) {\it hypergeom} \left( [2,n-2\,m+N+2,3+n],[ 3,-m+n+2],1 \right) }{-m+n+1}} \end{gather*}

[Trius]

Да вроде бы да, сумма возникает при подсчете мат.ожидания гипергеометрического распределения

[Хорхе]

В условии все правильно, кроме опечатки: $C_n^k\to C_m^k$ и пределов суммирования (хотя если считать, что $C_n^k = 0$ для $k<0$ и $k>n$, то всё ок). Сведите это нехитрыми преобразованиями к сумме вида

$$ \sum_{j} C_{l}^j C_{k}^{r-j}, $$

которую Вы должны уметь считать.

Впрочем, математическое ожидание гипергеометрического распределения посчитать намного легче -- как мат. ожидание суммы неких величин, в точности так же, как оно подсчитывается для биномиального.