Векторная алгебра и аналитич. геометрия

[milan2012]

Помогите, пожалуйста, понять задачи!

1) Найти радиус круга, вписанного в треугольник, если даны уравнения сторон.
$3x-4y=25$;$5x+12y=65$;$8x+15y+85=0$

Не получается найти этот радиус, искал так
Обозначим вершины треугольника $A$, $B$, $C$.
$3x-4y=25$ это $AB$
$5x+12y=65$ это $BC$
$8x+15y+85=0$ это $AC$

Нашел координаты точек $A$, $B$, $C$ из таких систем уравнений
1) Для координат точки $B$
$3x_B-4y_B=25$
$5x_B+12y_B=65$
точки $A$ и $C$ аналогично.

получились координаты $A(-\dfrac{65}{11},\dfrac{5}{11})$
$B(-10;\dfrac{5}{4})$; $C(-95;45)$

Нашел $\vec {AB}=(\dfrac{105}{11};\dfrac{315}{44})$;$|\vec {AB}|\approx 11,93$
$\vec {AC}=(-\dfrac{1050}{11};\dfrac{560}{11})$;$|\vec {AC}|\approx 108,19$
$\vec {BC}=(-105;43,75)$;$|\vec {AC}|\approx 209,62$

$r\approx \sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

$a=11,93$ ;$b=108,19$;$c=209,62$; $p=\dfrac{a+b+c}{2}=164,875$

Величина под корнем получается отрицательной...В чем тут дело!

[ewert]

milan2012 в сообщении #363227 писал(а):

Величина под корнем получается отрицательной...В чем тут дело!

Длины сторон найдены неверно -- они не удовлетворяют неравенству треугольника.

[Null]

У вашего треугольника одна сторона получилась больше суммы двух других. Значит координаты векторов или их длинны посчитаны неверно.

[milan2012]

Точно! Спасибо! Вы правы! А суть метода нормальная или можно было бы проще решить?!

-- Пн окт 18, 2010 16:24:33 --

А вот эту задачу каким методом лучше решать?!

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку $(2;2;1)$ и перпендикулярно 2 плоскостям
$2x-z+1=0$; $y=0$

Как к ней подобраться?!

[Null]

Если ввести 3 числа - радиус вписанной окружности и координаты центра и записать 3 уравнения - расстояние от центра до прямых равно радиусу, то получим линейную систему 3 уравнений.

[milan2012]

Null в сообщении #363235 писал(а):

Если ввести 3 числа - радиус вписанной окружности и координаты центра и записать 3 уравнения - расстояние от центра до прямых равно радиусу, то получим линейную систему 3 уравнений.

Спасибо!!!!
ТО есть по этой формуле составить три уравнения?

$d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

-- Пн окт 18, 2010 16:38:57 --

А как быть с модулем?!

[Sasha2]

А вот с модулем Вам никак уже не быть.
Если решать честно такую систему, то Вы получите четыре решения, с которыми Вам еще надо будет разбираться.
Просто Вам предложили метод, позволяющий найти радиусы вписанной и трех вневписанных окружностей.
Но чтобы не мучиться, наверно все же нужно сделать хотя бы набросок чертежа, чтобы представлять, какие перпендикуляры лпроходят НА, а какие ПОД тремя данными прямыми. Тогда и понятно будет, как от модулей избавляться.

Но вот чтобы с этими штуками не мучиться, конечно (ИМХО), лучше опереться на простенькую формулу.
$S=pr$ (Здесь S- это площадь Вашего треугольника, p - его полупериметр и r - это радиус вписанной окружности).
Три стороны найти Вы можете, равно как и угол посчитать, между любыми двумя стороонами тоже можете, Поэтому, найдя площадь данного треугольника, получите и окружность, вписанную в него.

[Null]

Площадь треугольника:$\frac{1}{2}\vec {AB}\times \vec {AC}$

[Sasha2]

Да можно и так, конечно, взяв модуль от выражения, предложенного уважаемым Null и поделить его на полупериметр.

[vvvv]

А вот эту задачу каким методом лучше решать?!

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку $(2;2;1)$ и перпендикулярно 2 плоскостям
$2x-z+1=0$; $y=0$

Как к ней подобраться?![/quote]
Найдите линию пересечение заданных плоскостей, а затем через заданную точку проведите плоскость перпендикулярно найденной линии.

[ewert]

vvvv в сообщении #363270 писал(а):

Найдите линию пересечение заданных плоскостей

Не надо.

[vvvv]

ewert в сообщении #363271 писал(а):

vvvv в сообщении #363270 писал(а):

Найдите линию пересечение заданных плоскостей

Не надо.

Ну,да!Этого делать не нужно , можно сразу записать уравнение искомой плоскости, для этого все данные есть

[milan2012]

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку $(2;2;1)$ и перпендикулярно 2 плоскостям
$2x-z+1=0$; $y=0$

О! Спасибо! Начну со второй, тк она проще!

Уравнение плоскости, проходящей через точку
$(2;2;1)$

$A(x-2)+B(y-2)+С(z-1)=0$

Условие перпендикулярности плоскостей

$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$

$B\cdot 1=0$ => $B=0$

$2A+C=0$ =>

Как дальше тогда?!

[Hymilev]

Векторное произведение векторов нормали исходных плоскостей {2,0,-1},{0,1,0} дает вектор нормали искомой плоскости

[milan2012]

Hymilev в сообщении #363360 писал(а):

Векторное произведение векторов нормали исходных плоскостей {2,0,-1},{0,1,0} дает вектор нормали искомой плоскости

Спасибо! Точно) Отличная идея, спасибо!
$\vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 0 & -1 \\ 0& 1 & 0\\ \end{vmatrix}=(1;0;2)$

$(x-2)+2(z-1)=0$ => $x+2z-4=0$ -искомое уравнение плоскости!