Найти наибольший объем цилиндра

[gadgett26]

Цитата:

Условие:Найдите наибольший объем цилиндра, Полная поверхность которого равна $2\pi$.

Я исходил из того что:
полная поверхность равна-

$$S=2\pi\ R^2+2\pi\ h$$

Объем равен-

$$V=\pi R^2 h$$

По идеи мы можем представить полную поверхность как

$$S= 2\pi R(R+h)$$

Так как нам надо найти наибольший объем то берём от $V=\pi R^2 h$ производную она равна: $V=2 \pi R h$
Также из условия видим что $R(R+h)=1$
А дальше у меня ступор.... Мож че не так сделал?

[ewert]

gadgett26 в сообщении #363214 писал(а):

Также из условия видим что $R(R+h)=1$
А дальше у меня ступор....

Выражайте высоту через радиус и подставляйте в объём.

[Joker_vD]

gadgett26
Извините, но $2 \pi R^2 + 2 \pi h \neq 2 \pi R (R + h)$.

Также не забудьте учесть, от чего до чего может изменяться $R$.

[gadgett26]

да там опечатка. Полная поверхность равна $S=2 \pi\ R^2+2 \pi\ R H $
ход решения:
S полн. циллиндра:

$$S=2\pi\ R^2 + 2\pi\ R H$$

$$S= 2\pi\ R (R+H)$$

$H=\frac{1-R^2}{R}\ $
V циллиндра:$\pi\ R^2 H$
V' циллиндра:$2 \pi\ RH$
$ 2 \pi\ R \frac{(1- R^2)}{R}$
$ \frac{(2 \pi\ R) - (2 \pi\ R^3)}{R}$
$2 \pi\ - 2\pi\ R^2$
$6,28R^2-6,28=0$
$R^2-1=0$
$R_1=-1$
$R_2=1$
Подставляю вместо R в $V=\pi\ R^2 H$ и нахожу max i min ТАК?

[Alexey1]

Вам же сказали

ewert в сообщении #363215 писал(а):

Выражайте высоту через радиус и подставляйте в объём.

Что получается?

[Joker_vD]

Как вы производную посчитали? Вы считаете, что $h$ не зависит от $R$? Это не так. Либо сначала подставляйте выражение, а потом дифференцируйте, либо честно пишите:

$V(R) = \pi R^2 h(R),$
$V'(R) = 2 \pi R h(R) + \pi R^2 h'(R);$

P.S. Все проблемы происходят от неуказания аргументов.
P.P.S. И не надо делать этих ужасных пробелов после $\pi$.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #363312 писал(а):

P.P.S. И не надо делать этих ужасных пробелов после $\pi$.

надо-надо, только ма-аленькие: вместо "\ " следует набивать "\," или "\;"

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Как по мне, $\TeX$ после "пи" вполне нормальный пробел ставит.