Системы сингулярных интегральных уравнений

[Asalex]

В книге Мусхелишвили "Сингулярные интегральные уравнения" (1962) построена теория для сингулярных интегральных

$$A(t_0)\phi(t_0)+\frac{B(t_0)}{\pi i}\int\limits_L\frac{\phi(t_0)dt}{t-t_0}+\frac{1}{\pi i}\int\limits_Lk(t_0,t)dt=f(t_0)$$

уравнений при достаточно общих предположениях на линию интегрирования, коэффициенты, и искомые функции.

А именно, контур $L$ кусочно-гладкая линия (с конечным числом узлов, т.е. точек, в которых нарушается гладкость или простота линии; в частности контур может иметь самопересечения), функции $A(t_0)$, $B(t_0)$, $k(t_0,t)$ принадлежат классу $H_0$ функций, гельдеровых на каждой простой гладкой компоненте линии $L$, а функция $f(t_0)$ и искомая функция $\phi(t_0)$ рассматриваются в классе $H^*$ функций, гельдеровых на любой закрытой гладкой дуге контура $L$, не содержащей узлов, а вблизи узлов допускающих интегрируюмую корневую особенность.
Если $A^2(t_0)-B^2(t_0)$ не обращается в нуль на линии L, то для СИУ справедливы теоремы Нётера, являющиеся аналогами теорем Фредгольма для Фредгольмовых уравнений.

При рассмотрении систем сингулярных интегральных уравнений условия на линию интегрирования, коэффициенты, и искомые функции становятся более обременительными, в частности линия $L$ предполагается гладкой замкнутой кривой.

Какие есть обобщения теории систем СИУ на контурах с самопересечениями?

[Полосин]

Не совсем ясно, что вас интересует. Посмотрите:
Гахов Ф.Д. Краевые задачи.
Прёсдорф З. Анализ 4. "Интегральные уравнения". Итоги ВИНИТИ, т. 27, 1988.
P.S. Нётер - это женщина, Эмми Нётер, поэтому теоремы Нётер, а не Нётера. Словосочетание "фредгольмовы уравнения" пишется со строчной буквы.

[Padawan]

Полосин
Был такой Ф.Нётер, в одно время с Э.Нётер жил примерно, может родственник? См. в Мат. энциклопедии статью Нётерово интегральное уравнение
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3474/НЁТЕРОВО

[Asalex]

Меня интересуют работы, в которых исследуются системы сингулярных интегральных уравнений на линиях с самопересечениями.

Во всех работах, которые я видел на эту тему
(в том числе
Гахов Ф.Д. Краевые задачи.
Прёсдорф З. Анализ 4. "Интегральные уравнения". Итоги ВИНИТИ, т. 27, 1988.
),
линия интегрирования берется без точек самопересечений. Единственное исключение-книга Мусхелишвили "Сингулярные интегральные уравнения", но там линии с самопересечениями берутся только в случае одного СИУ, а для систем СИУ линия берется простая.

P.S. У Нетеров целая математическая династия http://en.wikipedia.org/wiki/Noether
Однако интересующая нас теорема принадлежит Фрицу Нетеру, брату Эмми.

[Полосин]

Насчет Нётеров: спасибо, подзабыл.
По теме: может, у Векуа или Симоненко что-то есть? Посмотрите библиографию. В принципе, этой темой многие занимались.