аппроксимация краевой задачи второго порядка

[Originale]

В задаче требуется построить разностную схему для следующий краевой задачи:
$(k(x)u'(x))'+p(x)u(x)=f(x)$
$u(0)=0$
$k(x)u'(x)=0.1u(x), x=10.$
на отрезке $[0,10]$, с аппроксимацией порядка $O(h^2)$ при разрывных функциях $k(x),p(x)$, 3 и 7 их точки разрыва. Разностная схема строится интегро-интерполяционным методом. Проблема следующая в какой норме можно достичь этого порядка аппроксимации.
Видимо некоторое обощение нормы в пространстве Соболева. Если возможно, то дайте ссылки на теорию по данному вопросу.

[ewert]

Originale в сообщении #363071 писал(а):

Проблема следующая в какой норме можно достичь этого порядка аппроксимации.Видимо некоторое обощение нормы в пространстве Соболева.

Проблема не столько в выборе нормы, сколько в корректной постановке самой краевой задачи (учитывая разрывность коэффициента $k(x)$).

Стандартный подход тут -- вариационный. Надо свести краевую задачу к минимизации соответствующего энергетического функционала. Вот только как в нём учитывается граничное условие именно 3-го типа (которое Вы столь нелепо записали в третьей строчке) -- так сходу не скажу; пардон, навскидку не помню.

Но если его всё же учесть -- то всё очень просто. Второй порядок точности обеспечивается аппроксимацией интеграла, задающего тот функционал, просто по формуле трапеций. Выписываем эту формулу -- получаем квадратичную функцию от узловых значений -- варьируем обратно -- и получается трёхдиагональная система линейных уравнений.

Да, чуть не забыл. Естественно, точки разрыва должны попадать на узлы сетки. Иначе формула трапеций никакого второго порядка, конечно, не обеспечит.

[mitia87]

Если нужна ссылка на исходную работу - Тихонов А.Н., Самарский А.А. (1961) Об однородных разностных схемах, Журн. вычисл. матем. и матем. физики, т.1, №1, с. 5-63. Пионерская работа, как раз интегро-интерполяционным методом. А если книга - Самарский, "Теория разностных схем".

А идея состоит в интегрировании по отрезку (в одномерном случае) и интегрировании по частям. А по факту, возврат к интегральной постановке исходной задачи, которая является более общей и имеет смысл на разрывных решениях. А потом интегралы заменяются интерполяционными формулами.