почти тривиальная тема

[totient]

Из курса по обыкновенным дифференциальным уравнениям известно, что никакие две интегральные кривые, являющиеся решениями ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной, не пересекаются. Пересекающиеся кривые, в свою очередь, определяются как имеющие общую точку и разные касательные в этой точке (в отличии от касающихся, когда касательная одна и та же). Именно поэтому и не бывает двух разных решений с одинаковыми начальными условиями. Вопрос: пересекаются или касаются в точке (0, 0) плоские кривые y=x^3 и y=-x^3? Формально они удовлетворяют первому определению, но неужели действительно возможен настолько контринтуитивный случай?

[ewert]

totient в сообщении #361617 писал(а):

Именно поэтому и не бывает двух разных решений с одинаковыми начальными условиями.

Именно не поэтому. Та теорема под непересечением понимает лишь отсутствие общих точек. Про углы пересечения она вообще ничего не говорит, вот именно за тривиальностью.

[totient]

Спасибо! А как же точки нарушения единственности? И что за "та теорема"? И какой все-таки в итоге правильный ответ?

[ewert]

totient в сообщении #361623 писал(а):

А как же точки нарушения единственности?

В точках нарушения единственности интегральные кривые вот именно касаются друг дружки. "Та теорема" -- есть теорема Пикара ( к примеру; её по-разному называют и даже формулируют). А "правильного ответа" и быть не может, т.к. вопрос был поставлен в принципе неправильно.

[Padawan]

totient в сообщении #361617 писал(а):

Вопрос: пересекаются или касаются в точке (0, 0) плоские кривые y=x^3 и y=-x^3?

Касаются -- имеют общую касательную. Если под "пересекаются" подразумевается "имеют общую точку", то да, пересекаются.

totient в сообщении #361617 писал(а):

контринтуитивный

Хорошее слово, надо запомнить

[AlexandreII]

У нас в таких случаях говорили "нетрансверсально пересекаются". Ну и касаются тоже

-- Ср окт 13, 2010 21:40:41 --

Цитата:

Касаются -- имеют общую касательную

Это не совсем точно: касаются, значит имеют общую точку и в ней общую касательную.
Иначе получится, что раз $y = x^2$ и $y = (x+2)^2$ имеют общую касательную $y=0$, то они касаются. А это не так