Ещё функциональное уравнение

[arseniiv]

Подскажите, что вот с этим: $u\left(l,\; l + 2k\right) = u\left(l - k \frac{1+st}{1+kt} + s,\; l - k \frac{1+st}{1+kt} + 3s\right)$ можно сделать?

-- Ср окт 13, 2010 15:13:40 --

До этого оно выглядело покрасивее: $u\left(l,\; l\right) = u\left(l(1 + kt) - k,\; l(1 + kt) + k\right)$. Мне показалось, что тот вид ближе к решению, чем этот первоначальный.

[Профессор Снэйп]

А функция из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$ или как-то по другому?

[arseniiv]

Ага, такая, "самая простая". Получилась при обобщении задачи, сначала там было уравнение попроще $u(l,\; l) = u(l - k,\; l + k)$ (примем $t = 0$ во втором), которое давало решение $u(a,\; b) = \xi(a + b)$, где $\xi : \mathbb R \to \mathbb R$, если не напутал.

-- Ср окт 13, 2010 16:25:28 --

Может, какую-нибудь подстановку сделать?

[Профессор Снэйп]

Ну так если $u(a,b) = \xi(a + b)$ установлено, то надо идти дальше.

$$ \xi(2l) = \xi(2l + 2lkt) $$

при любых $l,k,t \in \mathbb{R}$, откуда $\xi = \mathrm{Const}$.

[arseniiv]

Так то же для старой функции решение, оно будет связано так с новым?

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #361625 писал(а):

Так то же для старой функции решение, оно будет связано так с новым?

Вы же сами сказали: подставить $t = 0$.

[arseniiv]

И правда. Жалко, что решение только константное.

-- Ср окт 13, 2010 17:15:48 --

Что-то не так. Я нашёл $u(a,\; b) = \xi\left(\frac{a + b}{(b - a)t + 2}\right)$, где $\xi$ — любая функция. Подходит.

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #361634 писал(а):

Что-то не так. Я нашёл $u(a,\; b) = \xi\left(\frac{a + b}{(b - a)t + 2}\right)$, где $\xi$ — любая функция. Подходит.

У Вас левая часть от $t$ не зависит, а правая зависит. Это нормально?

[arseniiv]

Я не знал, как это описать. $t$ как раз не должно быть в аргументах. Это как константа интегрирования, того же вида.

-- Ср окт 13, 2010 18:22:13 --

Например, решение уравнения Коши $f(x) = cx$, $c$ слева тоже нет.

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #361664 писал(а):

Я не знал, как это описать.

Что "это"?

Я не телепат. Может, кто понял?

[arseniiv]

В общем, я не понимаю, как объяснить; но, по крайней мере, уравнение решено, хотя ничего полезного я из него не извлёк, как ожидал, ну да и ладно.

[Профессор Снэйп]

Но Вы согласны с тем, что при Ваших условиях на функцию решений кроме $u(a,b) = \mathrm{Const}$ нет?!

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #361634 писал(а):

$u(a,\; b) = \xi\left(\frac{a + b}{(b - a)t + 2}\right)$

А это что? Пусть, например, $t = 21$. Вроде подстановка такой функции в уравнение приводит к тождеству! Я мог и перепутать, проверяя в Mathematica, конечно.

-- Пт окт 15, 2010 20:52:11 --

Лучше не в первой форме, а во второй ($u\left(l,\; l\right) = u\left(l(1 + kt) - k,\; l(1 + kt) + k\right)$). Там меньше лишнего, что я наприделывал, и усложнённый вид оказался не нужен.

(Оффтоп)

Кстати, а можно ли обобщить? Вот пусть у нас есть функция $u(a_1,\;\ldots,\;a_n)$, удовлетворяющая одному уравнению $F(u,\;a_1,\;\ldots,\;a_n) = 0$, и нам доподлинно известно, что она ($u$) выразима в виде $\xi(f(a_1,\;\ldots,\;a_n))$, где $\xi$ — соверщенно любая функция $\mathbb R \to \mathbb R$, то есть, $u$ зависит от аргументов так, что при изменении одного всегда можно изменить остальные так, чтобы значение функции не изменилось. Естественно, $f$ может быть совершенно разного вида, т. к. вместо неё в $\xi$ можно подставить какую-нибудь $g \circ f$, где $g$ — биекция. Для нахождения всех возможных $u$ надо найти какую-нибудь одну $f$, как это можно сделать (какой-нибудь алгоритм)? Или в общем случае никак?

Вот что получается, если подставить найденное решение в уравнение: $\xi(l) = \xi(l)$.

[Профессор Снэйп]

arseniiv в сообщении #362393 писал(а):

А это что?

Ну, я не могу указать конкретную ошибку в Ваших рассуждениях, поскольку решение Вы не излагали. Но где-то Вы перемудрили... Или, наоборот, недомудрили

Приведите пример конкретной функции $u: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, для которой тождество $u(l(1+kt)-k,l(1+kt)+k) = u(l,l)$ выполнено при всех $l,k,t \in \mathbb{R}$ и которая принимает более одного значения!

[arseniiv]

Профессор Снэйп в сообщении #362645 писал(а):

и которая принимает более одного значения!

Зачем это? Неужели из моих слов это следует?..

Вот не пойму, как правильно показать, что t нельзя выбрать любое, а оно фиксированно. Может, есть равносильное уравнение без него?

Профессор Снэйп в сообщении #362645 писал(а):

Но где-то Вы перемудрили... Или, наоборот, недомудрили

Это мне свойственно. Возможно, я какую-то важную деталь пропустил или даже не знаю, что такая бывает.