Изоморфизм (lp)*=lq

[Fessssss]

Собственно требуется доказать, что пространство ограниченных функционалов на $l_p$ изоморфно пространству $l_q$. Отображение нужное я нашел, доказал его изометризм:
пускай $a \in l_q$, $x \in l_p$, тогда для любого $\phi \in l_p^*$ справедливо представление как $\sum_{i=0}^\infty a_i*x_i$. Назвем это отображение так: $L\colon l_q\to l_p^*$.
Соответственно, остается только лишь показать, что $ Im L=l_p^* $. Очевидно включение образа в $l_p^*$. Докажем обратное включение. Возьмем $\phi \in l_p^*$ і $x \in l_p$. Можем представить $x=\sum_{i=0}^\infty x_i*e_i$. Тогда
$\phi (x) = \sum_{i=0}^\infty x_i*\phi (e_i)$. Остается понять только то, что последовательность ${{\phi (e_n)}_{i=0}^\infty$ лежит в $l_q$.
Помогите, пожайлуста, это доказать. Спасибо.

[Null]

$\|\phi (x)\|<C\|x\|$
Докажите что норма этого вектора $(\phi(e_1),\dots,\phi(e_n))в $l_q^n$ меньше $C$
для этого возьмите хороший $x=(x_1,\dots,x_n,0,0,\dots)\in l_p$

[Fessssss]

Вот в этом то и вся загвоздка - не получается такую найти... Пытался взять такую:
$\sum_{i=1}^\infty \frac {|\phi(e_i)|^q} {\phi(e_i)}*e_i$.... Но как доказать, что она лежит в $l_p$ не знаю....