Разложение в ряд по степеням (x/(x+1))

[antoha.by]

Есть функция $\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ Её нужно разложить в ряд по степеням $\frac{x}{x+1}$

Мои попытки:
Преподаватель решил проверить нас, кто не решит, тот будет наказан.
Даже ответ дал: $\frac{x}{x+1} + \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)!}{(\frac{x}{x+1})^n}}$
(под $\frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)!}$ подразумевается факториал четного числа на нечетное 2/3, 4/5, 6/7)
Вобщем я пытался разлаживать её по степеням x через разложение маклорена $\sqrt{1+x}$
Но ни в какую.
Помогите разобратся, дайте хотя бы совет.

[ИСН]

Обозначьте одной буквой то, по степеням чего, несмотря ни на что...

[paha]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #361000 писал(а):

Обозначьте одной буквой то

вот так сложно завернете... нет чтоб про замену переменной сказать

[antoha.by]

Ну заменяю я $\frac{x}{x+1} = a$ ну выражаю я $x=\frac{a}{1-a}$
Это что, теперь мне разлаживать по Тейлору с высчитыванием производных, и при чем это же только для разложения в точке. Да и с ответом как-то не стыкуется.
Пока больше у меня догадок нет. Может, что еще и придумаю.

[Xaositect]

antoha.by в сообщении #361015 писал(а):

разлаживать по Тейлору с высчитыванием производных,

Вычислять производные совершенно не обязательно, если вспомнить, что $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots$

[Профессор Снэйп]

Тут более сложную штуку надо вспоминать: $(1-x)^{-1/2} = \ldots$.

[ИСН]

antoha.by в сообщении #361015 писал(а):

Это что, теперь мне разлаживать по Тейлору с высчитыванием производных, и при чем это же только для разложения в точке.

Да, как правило, именно это и необходимо делать в таких задачах. Если есть более лёгкий способ, то это редкий подарок судьбы. А что?

[Профессор Снэйп]

Кстати, я так и не понял пояснение:

antoha.by в сообщении #360998 писал(а):

...подразумевается факториал четного числа на нечетное...

Бред какой-то. Там в знаменателе факториал отрицательного числа при $n > 0$.

[antoha.by]

Я лучше завтра-послезавтра разузнаю что там да как. Ибо реально бредом пахнет.

[Padawan]

Да там стоит $\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}$ как в разложение арксинуса (см., что написал Профессор Снэйп)

Профессор Снэйп в сообщении #361020 писал(а):

Тут более сложную штуку надо вспоминать: $(1-x)^{-1/2} = \ldots$.

[Профессор Снэйп]

antoha.by в сообщении #361065 писал(а):

Я лучше завтра-послезавтра разузнаю что там да как. Ибо реально бредом пахнет.

Да ну задача-то реально лёгкая

Пусть $a = x/(1+x)$. Тогда

$$\frac{x}{\sqrt{1+x}} = \frac{a}{\sqrt{1 - a}} = a(1-a)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty c_n a^{n+1},$$

где $c_n$ равно $1/n!$ умножить на $n$-ую производную в нуле функции $f(a) = (1-a)^{-1/2}$. Имеем

$$ \begin{array}{rcl} f'(a) &=& \dfrac{1}{2} \cdot (1-a)^{-3/2} \\ \\ f''(a) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot (1-a)^{-5/2} \\ \\ f'''(a) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{5}{2} \cdot (1-a)^{-7/2} \end{array} $$

И так далее. Написал бы сразу общую формулу, да правила форума запрещают

-- Пн окт 11, 2010 22:10:38 --

P. S. Неплохо бы ещё радиус сходимости посмотреть и выяснить, при каких иксах разложение верно

[antoha.by]

Ох. Вечно я боюсь сложностей, надо всетаки было посчитать производную но в более удобном виде.
А я ее сильно расписал в итоге там пошли противные степени, а вы записали в более удобном и даже очевидном виде.
А так вообще изящно получилось. Блин, математика - крутая штука.