Уравнение на степени матриц

[serval]

Есть уравнение $(\vec n,\vec x)+(\vec n,\vec y)=(\vec n,\vec z)$ где $x,y,z$- некоторые натуральные числа такие что $(\vec n,A_1^x\vec e_1)+(\vec n,A_1^y\vec e_1)=(\vec n,A_1^z\vec e_1)$.
Тогда верно ли $(\vec n,A_1^x(I+A_1^{y-x})\vec e_1)=(\vec n,A_1^z\vec e_1)$? И если верно, то можно ли отсюда получить какую-нибудь полезную информацию о числах $x,y,z$?
Здесь $A_1$ - квадратная ленточная матрица главная диагональ и первая поддиагональ которой заняты единицами а остальные элементы - нули, $\vec e_1$ - первый орт.

[serval]

Можно даже более конкретно - вектор $\vec n=A_2^n \vec e_1$ где $A_2$ - квадратная ленточная матрица главная диагональ и первая поддиагональ которой заняты натуральным рядом а остальные элементы - нули, $\vec e_1$ - первый орт.

[Профессор Снэйп]

Что-то я не понял: натуральное число $x$ и (вектор?) $\vec{x}$ как-нибудь связаны?

[serval]

Прямо связаны.
$x$-я степень оператора $A_1$ порождает вектор $\vec x$: $A_1^x \vec e_1=\vec x$.

[ИСН]

Это какая-то сложность из ниоткуда. "Дым и зеркала." Степень той матрицы имеет простой явный вид, её произведение на орт - ещё проще. Матричный вид вообще не нужен.

[ewert]

serval в сообщении #360941 писал(а):

главная диагональ и первая поддиагональ которой заняты натуральным рядом

Что значит "заняты"? На поддиагонали ряд начинается заново, или продолжается после заполнения главной диагонали, или идёт лесенкой, или ещё как?...

Заполните: $A=\begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$

[serval]

Для простоты, примем размерность всех векторов и матриц равной $3$, а степень оператора $A_2$ пусть будет $n=2$.
Тогда

$A_1=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{pmatrix}$

$A_2=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&2&0 \\ 0&2&3 \end{pmatrix}$

$\vec e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Требуется найти условия на числа $x,y,z$ при которых будет выполняться равенство

$(A_2^2 \vec e_1, (A_1^x+A_1^y) \vec e_1)=(A_2^2 \vec e_1, A_1^z \vec e_1)$

[serval]

Более узкий вопрос: как влияет на линейный оператор $A$ прибавление к нему тождественного оператора $I$? Есть ли стандартная интерпретация действия $A+I$?