Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)

[caxap]

Найти $f'(x)$, если

$$f(x)=\int_x^{\infty} e^{-xy} \,dy\quad (x>0).$$

Сначала продифференцирую по нижнему пределу, а потом внутри интеграла:

$$f'(x)=-e^{x\cdot x}\, x'+\int_x^{\infty} (e^{-xy})'_x\,dy=-e^{-x^2}-\int_x^{\infty} ye^{-xy}\,dy$$

А в задачнике написан такой ответ:

$$-\int_x^{\infty} y^2 e^{-xy^2}\,dy-e^{-x^3}.$$

Где я ошибся?

[ИСН]

Знаете, есть такой тип школьных заданий: вставить пропущенную букву.
Вот Вам задачник кагбе намекает нечто в этом роде. Найти: где в нём пропущена, исправлена, или добавлена цифра. Одна цифра. Может, в ответе, а может, в условии. Думайте.

[caxap]

Вон оно чё. Вы намекаете, что в условии наборщики пропустили квадрат у игрека? Я сейчас продифференцировал с ним -- получилось как в ответе. Спасибо.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Издание задачника Демидовича от 2005 года (АСТ, Астрель, М.) ужасно в плане опечаток. Там их тысячи, что совершенно недопустимо для задачника.

[caxap]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #359721 писал(а):

Издание задачника Демидовича от 2005 года (АСТ, Астрель, М.) ужасно в плане опечаток. Там их тысячи, что совершенно недопустимо для задачника.

У меня древнее издание (1968 года -- это ещё из тех, которые ориентированы на втузы, а не на математические специальности).

[Padawan]

Кстати, надо еще обосновать законность дифференцирования по параметру, так как интеграл -- несобственный.

[caxap]

Padawan
Он должен равномерно сходится? Если честно, не очень представляю, как это доказать. Когда ряды, там можно подобрать ряд, который будет мажорировать исследуемый. Здесь, видимо, нужно подобрать такую функцию, но ничего не придумывается.

[Null]

Мажорировать надо не исследуемый интеграл а его производную

[Padawan]

Вот если бы нижний предел был постоянным, то правило такое -- продифференцированный интеграл должен равномерно сходиться в окрестности той точки, в которой мы считаем производную.

(Оффтоп)

Вообще, к сожалению, в курсе математического анализа почти не уделяется внимания аналитическим функциям. Отсюда все эти трехэтажные избыточные условия на применимость самых обычных операций. В этом отношении хороша книга Уиттекер, Ватсон Курс современного анализа, том 1. Там с самого начала изложение ведется в комплексной области и для аналитических функций.
Тоже самое относится к теории интегрирования. Введение интеграла Лебега упрощает и унифицирует кучу теорем.

[caxap]

Может так:
для каждого конкретного $x=x_0>0$ выберем функцию $y^2 e^{-a y^2}$, где $a=x/2$. Тогда $|y^2 e^{-xy^2}|\leqslant y^2 e^{-a y^2}$ для всех $x\in(x_0,\infty)$. (Интеграл от правой функции от $0$ до $\infty$ сходится при любом положительном $a$.)

Извиняюсь, если бред пишу, просто про равномерную сходимость интегралов мельком слышал, в Демидовиче об этом ничего нет.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #359760 писал(а):

Вообще, к сожалению, в курсе математического анализа почти не уделяется внимания аналитическим функциям.

И не может уделяться, в принципе не может. Аналитические функции -- очень, очень, очень частный случай функций вообще, и не все практически интересные (с точки зрения анализа вообще) в сей класс попадают. При всей ихней (аналитических функций) интересности -- это не более чем частный случай.Так что всё нормально.

[Padawan]

Все правильно, только в определении $a$ у икса нолик забыли. И лучше написать "для всех $x\in (a,+\infty)$, чтобы было в окрестности $x_0$.
Всё так же, как и для равномерной сходимости ряда -- признак Вейерштрасса называется.

-- Ср окт 06, 2010 23:38:52 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #359764 писал(а):

Аналитические функции -- очень, очень, очень частный случай функций

Аналитические функции -- очень, очень, очень частый случай функций

Например, в это примере достаточно проверить, что исходный интеграл сходится (поточечно!) при всех $x$ из некоторой комплексной окрестности $x_0$ и частичные интегралы равномерно ограничены в этой окрестности. Ну или что он равномерно сходится в окрестности $x_0$.

[caxap]

Padawan в сообщении #359766 писал(а):

Все правильно, только в определении $a$ у икса нолик забыли.

Спасибо!

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #359766 писал(а):

Например, в это примере достаточно проверить

, как очень, очень, очень частный случай!

К тому ж ещё и не аналитический.

(Пыс: интересно, а есть такой тег -- "двукратный оффтопик"?...)

[Хорхе]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #359721 писал(а):

Издание задачника Демидовича от 2005 года (АСТ, Астрель, М.) ужасно в плане опечаток. Там их тысячи, что совершенно недопустимо для задачника.

Это ужасно еще тем, что (даже у нас -- о ужас!) находятся преподаватели, которые старательно ксерят эти ошибки на доску.

ewert в сообщении #359797 писал(а):

(Пыс: интересно, а есть такой тег -- "двукратный оффтопик"?...)

На каждый двукратный [off] у модератора найдется двуэтажный [mod]. А то и что покрепче.