Любое утверждение об элементах пустого множества - истинно

[Day]

Someone в сообщении #359270 писал(а):

venco в сообщении #359236 писал(а):

"Любое утверждение об элементах пустого множества - истинно" - верно.

Боюсь, это слишком широкое утверждение, чтобы быть верным. Что это значит - "об элементах пустого множества"? Тут большой простор для всяких толкований. Например, $\exists x(x\in\varnothing)$ - это об элементах пустого множества или нет?
Нужно сформулировать более формально:
если $\Phi(x)$ - любая формула со свободной переменной $x$, то формула $(x\in\varnothing)\Rightarrow(\Phi(x))$ истинна
(или с явным квантором всеобщности: $\forall x((x\in\varnothing)\Rightarrow(\Phi(x)))$).

Вот, отдохнул немного в деревне, на закаты полюбовался, а Ваш примерчик из головы нейдет...
Но кажется, что это (найдется x, принадлежащий пустому) все-таки о пустом множестве, а не об его элементах.
А насчет формальности - Вы, конечно, правы.
Но тут нужно специальные науки изучать.
Скользкая эта штука - ТМ.

[epros]

Day в сообщении #360869 писал(а):

Но кажется, что это (найдется x, принадлежащий пустому) все-таки о пустом множестве, а не об его элементах.

По-моему, как раз об элементах.

Утверждения с квантором всеобщности по элементам пустого множества истинны постольку, поскольку тождественно ложное высказывание $x \in \varnothing$ оказывается в предпосылке импликации. Как известно из определения импликации, если предпосылка ложна, то импликация тождественно истинна (т.е. независимо от того, что стоит в выводе).

Естественно, к утверждениям с квантором существования эти рассуждения не относятся.