Обратная к теореме косинусов

[maxmatem]

ну если она не верна, то должен быть контрпример. ну так она верна?

[gris]

А я даже и шуточки Ваши всерьёз воспринимаю .
Некоторые количественные соотношения не удаётся красиво, а главное, полезно выразить в виде "Если А, то Б". Соответственно и обратная теорема не звучит, нет в неё надобности.
Например, общеизвестная формула Герона.
Теоремы, содержащие "качественные" утверждения (хотя они выражаются количественно) более пригодны к формулированию противоположных и обратных теорем.
В этих теоремах заключаются важные понятия свойства, признака, необходимого и достаточного условия, равносильности уиверждений.
Например: В параллелограмме диагонали делятся пополам. Свойство.
Обратная: Если в четырёхугольнике диагонали делятся пополам, то это параллелограмм.
В этом случае верна и прямая, и обратная теорема. А это не всегда бывает.
Ну и так далее.
Сформулировать обратную для теоремы косинусов формально можно, но она никому не будет нужна.
Ну например, если для трёх чисел отношение, которое я приводил, строго больше -1 и строго меньше 1, то эти числа являются длинами сторон треугольника с углом...

[maxmatem]

я нигде найти даже в инете не могу про обратную теорему косинусов. Хотя я сам понимаю , что она никому не нужна.....

[gris]

Можно теорему косинусов немного ослабить:
В остроугольном треугольнике квадрат любой стороны меньше суммы квадратов двух других
В тупоугольном треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других.

Тогда обратные теоремы будут звучать:
Если в треугольнике квадрат любой стороны меньше суммы квадратов двух других, то этот треугольник остроугольный. Если квадрат некоторой стороны больше ..., то треугольник тупоугольный.

Вот теперь вырисовывается полезная теорема об определении вида треугольника по квадратам его сторон.

[maxmatem]

gris .спасибо за вашу помощь.

[gris]

Кстати, у Адамара она есть в виде следствия в конце п. 126. (там, где Теореема Пифагора)

А в виде теоремы о существовании треугольника надо доказывать, заметив, что если
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot k$, где $k\in (-1;1)$, то $|2bc\cdot k|<2bc$.
Ну тут уже вырисовывается квадрат суммы или разности, неравенство треугольника, его существование, третий признак равенства...

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #358860 писал(а):

maxmatem в сообщении #358844 писал(а):

я слышал ещё есть противоположная теорема, чем она отличается от обратной?

если серьёзно: ничем не отличается, в том смысле что эквивалентна. Детали см. у gris'а.

Виктор Викторов в сообщении #345840 писал(а):

Прямая теорема: если А, то Б.
Обратная: если Б, то А. (Может быть ложна, даже если прямая теорема истинна)
Противоположная: если не А, то не Б.
Обратная к противоположной: если не Б, то не А. (Истинна, тогда и только тогда, когда прямая теорема истинна)

Пример. Если число делится на 4, то оно делится на 2. (Истина)
Обратная: Если число делится на 2, то оно делится на 4. (Ложь)
Противоположная: Если число не делится на 4, то оно не делится на 2. (Ложь)
Обратная к противоположной: Если число не делится на 2, то оно не делится на 4. (Истина)

Весь текст здесь post345840.html#p345840

[Sasha2]

Теорема Пифагора нчинается посылкой во всяком прямоугольном треугольнике (и далее по тексту). Следовательно, она этим и должна заканчиваться.
И по всей видимости, обратная теорема для теоремы Пифагора доолжна звучать так:
Если в некотором треугольнике сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным, а стороны сумма квадратов которых равна квадрату третьей стороны, являются катетами этого треугольника.

В теореме косинусов у нас всего лишь есть "В любом треугольнике", вот примерно этим и должны оканчиваться обратная теорема для теоремы косинусов, то есть надо постараться и как-то покарсивше сформулировать, что если три отрезка находятся в таких-то и таких-то отношениях, то тогда из этих трех отрезков можно смастерить треугольник, в котором против такой-то стороны будет лежать угол с таким то косинусом.

[Yu_K]

(Оффтоп)

К тереме косинусов обратной должна быть теорема арккосинусов.