Параметрические уравнения поверхностей

[Dil]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с вопросом:
Задана поверхность z=x*x-y*y (гиперболический параболоид).
Необходимо данное алгебраическое уравнение привести к параметрическому виду.
Будет ли одно из найденных мною решений верным по смыслу ?:
1. x=u*cos (v)
y=u*sin (v)
z=u*u*(cos(2*v))^2

2. x=cos (v)
y=sin (v)
z=(cos(2*v))^2

Если нет, помогите разобраться с вопросом, пожалуйста.

[gris]

Первое правильно, только без квадрата косинуса. Во втором только один параметр, а поверхность, вообще говоря, описывается двумя.
$x=u\cos v$
$y=u\sin v
$z=u^2\cos2v$
получается как бы цилиндрическая система координат.

[Dil]

Спасибо, gris! Все мои вычисления основывались на формулах тригонометрии. Наверное, существует какой-то алгоритм нахождения параметрических уравнений поверхностей. Не могли бы вы объяснить его для данного конкретного случая.
Кстати, забыл написать, что в задаче еще заданы две точки x0=2 и y0=1. Зачем нужны эти условия?

[gris]

По формулам тригонометрии $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$
Способов параметризации может быть очень много. Например,
$x=u$
$y=v$
$z=u^2-v^2$
тоже система параметрических уравнений. Различные способы параметризации бывают удобными при решении конкретных задач. Например, для вычисления поверхностных интегралов. Для нахождения линии пересечения поверхности с другими поверхностями.
Кстати, Ваш второй способ параметризации описывает линию пересечения параболоида с цилиндром единичного радиуса и осью $z$ в качестве оси.

Точки даны, вероятно, для того, чтобы Вы нашли при каких значениях параметров в Вашей параметризации исходные переменные принимают заданные значения.
То есть, каким значениям $(u;v)$ соответствует точка $(2;1;3)$ в системе координат $(x;y;z)$.

[Полосин]

Может быть, удобнее будет параметризация $x=u\ch v, y=u\sh v, z=u^2$?

[Dil]

Уважаемые gris и Полосин! Большое Вам спасибо за разрешение терзавших меня сомнений! Господину Полосину отдельное спасибо за ваш вариант параметризации, я задумывался об этом, но не решался применить. Этот вариант на самом деле удобнее будет, но в общий уровень задач как-то не вписывается.