База топологии компактного хаусдорфова пространства

[Joker_vD]

Имеется $X$ — компактное хаусдорфово пространство. Вводим $C(X) = \{\, f \colon X \to \mathbb R \mid f$ — непрерывна $\}$. Для $f \in C(X)$ рассмотрим множество $U_f = \{\, x \in X \mid f(x) \neq 0 \,\}$.

Утверждается, что $\{\, U_f \,\}_{f \in C(X)}$ — база топологии $X$.

Почему? То, что множества $U_f$ открыты, мне понятно, $U_f = f^{-1}((-\infty,0) \cup (0,+\infty))$, а прообраз открытого множества при непрерывном отображении открыт. И... куда дальше? Что мне должно помочь разложить произвольное $U \in \Omega_X$ в объединение этих множеств? Хаусдорфовость? Компактность?

[Padawan]

Утверждение справедливо для любых вполне регулярных пространств. А компактное хаусдорфово вполне регулярно (даже нормально).

[Joker_vD]

"Вполне регулярное" — это в котором верна $T_1$ и $T_{3\frac{1}{2}}$? Так мне как раз и нужно показать выполнение $T_{3\frac{1}{2}}$. Но как, как? С чего начинать? Воспользоваться тем, что хаусдорфовость наследуется?

[Padawan]

Нормальность докажите. А из нормальности уже вполне регулярность получается по лемме Урысона.

-- Сб окт 02, 2010 22:22:44 --

Вообще-то это стандартная теорема -- компактное хаусдорфово нормально.

[Joker_vD]

Теорема. Всякое компактное хаусдорфово топологическое пространство нормально.

Док-во. Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство. $T_2 \Rightarrow T_1$ очевидно. Покажем выполнение аксиомы $T_4$: для всяких двух непересекающихся замкнутых множеств $F_1, F_2$, $F_1 \cap F_2 = \varnothing$ существуют их непересекающиеся окрестности $U_{F_1}, U_{F_2}$, $U_{F_1} \cap U_{F_2} = \varnothing$.

Для этого возьмем $x_0 \in F_1$ и для всякого $y \in F_2$ построим их непересекающиеся окрестности $U_{x_0}^{(y)}, U_y^{(x_0)}$. Очевидным образом $\{\, U_y^{(x_0)} \,\}_{y \in F_2}$ — покрытие $F_2$, воспользуемся компактностью и выделим его конечное подпокрытие $\{\, U_{y_i}^{(x_0)} \,\}_{i=1}^{m_0}$. Введем обозначения: $V_{x_0} = \bigcap\limits_{i=1}^{m_0} U_{x_0}^{(y_i)}$; $V_{F_2}^{(x_0)} = \bigcup\limits_{i=1}^{m_0} U_{y}^{(x_0)}$, причем по построению $V_{x_0} \cap V_{F_2}^{(x_0)} = \varnothing$.

Также очевидно, что $\{\, V_x \,\}_{x \in F_1}$ — покрытие $F_1$, воспользуемся компактностью и выделим его конечное подпокрытие $\{\, V_{x_j} \,\}_{j=1}^{n}$. Теперь рассмотрим множество $\bigcap\limits_{j=1}^n V_{F_2}^{(x_j)}$: оно открыто, оно содержит $F_2$, и оно не пересекается с $\bigcup\limits_{j=1}^n V_{x_j}$, так как $V_{x_j} \cap V_{F_2}^{(x_j)} = \varnothing$.

Таким образом, для двух непересекающихся замкнутых множеств были построены их непересекающиеся окрестности, именно, $\bigcup\limits_{j=1}^n V_{x_j}$ для $F_1$и $\bigcap\limits_{j=1}^n V_{F_2}^{(x_j)}$ для $F_2$. Доказательство окончено.

Теперь такие вопросы: можно ли это доказать лучше или хотя бы записать менее громоздко — раз; как доказывать лемму Урысона — два.

[Someone]

Доказательство нормальности обычно разбивают на два этапа: сначала доказывают регулярность, а потом нормальность. У Вас оба этапа есть, только они не выделены в качестве самостоятельных утверждений.
Доказательство леммы Урысона - дело довольно канительное.
Нормальность пространства $X$ означает, в частности, что если $F\subseteq X$ - замкнутое, а $U\subseteq X$ - открытое множество, удовлетворяющие условию $F\subseteq U$, то существует такое открытое множество $V\subseteq X$, что $F\subseteq V\subseteq[V]_X\subseteq U$.
Теперь пусть $F_0,F_1\subseteq X$ - не пересекающиеся замкнутые множества. Полагаем $U_1=X\setminus F_1$ и строим такое открытое $U_0\subseteq X$, что $F\subseteq U_0\subseteq[U_0]_X\subseteq U_1$.
Далее, предположив, что для некоторого целого $n\geqslant 0$ уже построены открытые множества $U_{\frac m{2^n}}\subseteq X$, $0\leqslant m\leqslant 2^n$, удовлетворяющие условию $[U_{\frac m{2^n}}]_X\subseteq U_{\frac{m+1}{2^n}}$, $0\leqslant m\leqslant 2^n-1$, для каждого такого $m$ строим открытое множество $U_{\frac{2m+1}{2^{n+1}}}\subseteq X$, удовлетворяющее условию $[U_{\frac m{2^n}}]_X\subseteq U_{\frac{2m+1}{2^{n+1}}}\subseteq [U_{\frac{2m+1}{2^{n+1}}}]_X\subseteq U_{\frac{m+1}{2^n}}$.
В итоге этого построения (которое нужно чуть более аккуратно оформить, нежели я тут написал) получаем семейство открытых множеств $U_r$, занумерованных всеми двоично-рациональными числами $r\in[0,1]$, причём, если $0\leqslant r<r'\leqslant 1$, то $[U_r]_X\subseteq U_{r'}$.
Теперь можно определить функцию $g\colon X\to[0,1]$, положив для $x\in X$

$$gx=\begin{cases}0\text{, если }x\in U_0\text{,}\\ \sup\{r:x\notin U_r\}\text{, если }x\notin U_0\text{.}\end{cases}$$

Нужно доказать, что эта функция обладает требуемыми свойствами.

[Padawan]

Так оно и доказывается. А лемму Урысона лучше в учебнике посмотреть, она сложновато доказывается. Там строится вложенное семейство $\{U_r\}$ открытых окрестностей множества $F_1$, заиндексированное двочно-рациональными числами $r\in [0,1]$, причем, при $r_1<r_2$ выполнено $\overline U_{r_1}\subset U_{r_2}\subset X\setminus F_2$ и определяется функция, которая на $F_1$ равна $0$, а на $F_2$ равна $1$.

Someone все подробно расписал То, что у меня $F_i$, у него $F_{i-1}$.

-- Вт окт 05, 2010 21:00:55 --

(Оффтоп)

Вообще, это хорошее построение. Оно еще используется при доказательстве того, что хаусдорфово топологическое векторное пространство со счетной базой в нуле метризуемо инвариантной метрикой.