Неоднозначность i^i

[Rubik]

Скажите, пожалуйста, однозначно ли определено $i^i$? Ведь $i=\cos(\frac\pi2+2\pi k)+i\sin(\frac\pi2+2\pi k)=e^{i(\frac\pi2+2\pi k)}$, $i^i=\left(e^{i(\frac\pi2+2\pi k)}\right)^i=e^{i^2(\frac\pi2+2\pi k)}=e^{-\frac\pi2-2\pi k}$, то есть $i^i$ определено неоднозначно. Верно ли это?

[ShMaxG]

Rubik в сообщении #357344 писал(а):

Скажите, пожалуйста, однозначно ли определено $i^i$?

$\[{i^i}\]$ - это множество комплексных чисел. Находится оно стандартно, $\[{i^i} = {e^{i\operatorname{Ln} i}}\] $. "Неоднозначность" за счет многозначности логарифма комплексного переменного.

[Rubik]

ShMaxG в сообщении #357348 писал(а):

$\[{i^i}\]$ - это множество комплексных чисел. Находится оно стандартно, $\[{i^i} = {e^{i\operatorname{Ln} i}}\] $. "Неоднозначность" за счет многозначности логарифма комплексного переменного.

$\operatorname{Ln}(i)=i\frac\pi2+2i\pi k$? Тогда $i^i=e^{i^2(\frac\pi2+2\pi k)}=e^{-\frac\pi2-2\pi k}$?

[ShMaxG]

$\left(e^{i(\frac\pi2+2\pi k)}\right)^i=e^{i^2(\frac\pi2+2\pi k)}$
Вот так лучше не писать, так как не для всех комплексных чисел $\[{z_1},{z_2}\]$ справедливо $\[{\left( {{e^{{z_1}}}} \right)^{{z_2}}} = {e^{{z_1}{z_2}}}\]$. Хотя ответ получен был верно.

Rubik в сообщении #357352 писал(а):

$\operatorname{Ln}(i)=i\frac\pi2+2i\pi k$? Тогда $i^i=e^{i^2(\frac\pi2+2\pi k)}=e^{-\frac\pi2-2\pi k}$?

Да, но лучше писать вот так: $\[{i^i} = {\left\{ {{e^{ - \frac{\pi } {2} + 2\pi k}}} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}}\]$, это чуть построже.

[Rubik]

Спасибо, понял.