2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неоднозначность i^i
Сообщение29.09.2010, 17:30 
Аватара пользователя


29/12/09
74
Скажите, пожалуйста, однозначно ли определено $i^i$? Ведь $i=\cos(\frac\pi2+2\pi k)+i\sin(\frac\pi2+2\pi k)=e^{i(\frac\pi2+2\pi k)}$, $i^i=\left(e^{i(\frac\pi2+2\pi k)}\right)^i=e^{i^2(\frac\pi2+2\pi k)}=e^{-\frac\pi2-2\pi k}$, то есть $i^i$ определено неоднозначно. Верно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность i^i
Сообщение29.09.2010, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2538
Физтех
Rubik в сообщении #357344 писал(а):
Скажите, пожалуйста, однозначно ли определено $i^i$?

$\[{i^i}\]$ - это множество комплексных чисел. Находится оно стандартно, $\[{i^i} = {e^{i\operatorname{Ln} i}}\]
$. "Неоднозначность" за счет многозначности логарифма комплексного переменного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность i^i
Сообщение29.09.2010, 17:49 
Аватара пользователя


29/12/09
74
ShMaxG в сообщении #357348 писал(а):
$\[{i^i}\]$ - это множество комплексных чисел. Находится оно стандартно, $\[{i^i} = {e^{i\operatorname{Ln} i}}\] $. "Неоднозначность" за счет многозначности логарифма комплексного переменного.

$\operatorname{Ln}(i)=i\frac\pi2+2i\pi k$? Тогда $i^i=e^{i^2(\frac\pi2+2\pi k)}=e^{-\frac\pi2-2\pi k}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность i^i
Сообщение29.09.2010, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2538
Физтех
$\left(e^{i(\frac\pi2+2\pi k)}\right)^i=e^{i^2(\frac\pi2+2\pi k)}$
Вот так лучше не писать, так как не для всех комплексных чисел $\[{z_1},{z_2}\]$ справедливо $\[{\left( {{e^{{z_1}}}} \right)^{{z_2}}} = {e^{{z_1}{z_2}}}\]$. Хотя ответ получен был верно.
Rubik в сообщении #357352 писал(а):
$\operatorname{Ln}(i)=i\frac\pi2+2i\pi k$? Тогда $i^i=e^{i^2(\frac\pi2+2\pi k)}=e^{-\frac\pi2-2\pi k}$?

Да, но лучше писать вот так: $\[{i^i} = {\left\{ {{e^{ - \frac{\pi }
{2} + 2\pi k}}} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}}\]$, это чуть построже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неоднозначность i^i
Сообщение29.09.2010, 18:17 
Аватара пользователя


29/12/09
74
Спасибо, понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group