Коэффициент корреляции Спеармана/распределения, квантили

[id]

Вычисляю коэффициент корреляции Спеармана одного двумерного распределения. Коэффициент этот определяется как $\rho(F_X(X),F_Y(Y))$, где $\rho$ -обычный коэффициент корреляции $\frac {Cov(X,Y)} {\sqrt{Var X}\sqrt{Var Y}}$; а $F_X(X),F_Y(Y)$ - квантильные функции распределений $X,Y$ соответственно, например $F_X(X)(p)=F_X^{-1}(p) = \inf\left\{ x\in R : p \le F_X(x) \right\}$ .

Квантильные функции я вычислил, $F_X(X)(p) = p^{\frac 1 4} , F_Y(Y)(p) = \sqrt{1-\sqrt{1-p}}$.

Из всего оставшегося торможу с вычислением $\mathbb E F_X(X) F_Y(Y)$, где нужно совместное распределение. Ок, вычислим $\mathbb P(F_X(X) \leqslant x, F_Y(Y) \leqslant y)$. Рассмотрим событие $\{F_X(X) \leqslant x\}$. Тогда это будет отрезок $[0,x^4]$ (следует из формулы квантильной функции).
Аналогично, событие $\{F_Y(Y) \leqslant y\}$ есть отрезок $[0,2 y^2-y^4]$.

То есть если $x^4 < 2 y^2 - y^4$, то $\{F_X(X) \leqslant x\} \subset \{F_Y(Y) \leqslant y\}$ и $P(F_X(X) \leqslant x, F_Y(Y) \leqslant y) = P(F_X(X) \leqslant x)= x$ в силу свойств.
Если же $x^4 > 2 y^2 - y^4$, то $\{F_X(X) \leqslant x\} \supset \{F_Y(Y) \leqslant y\}$ и $P(F_X(X) \leqslant x, F_Y(Y) \leqslant y) = P(F_Y(Y) \leqslant y)= y$ в силу свойств.

Но, гм, как теперь по этому интегрировать $\int\int xy dP(x,y)$?
В "непрерывной" части получается нулевая плотность, т.к. либо $\frac \partial {\partial x} \mathbb P= 0$ , либо $\frac \partial {\partial y} \mathbb P= 0$, что делать со скачком я не вполне соображу.

[id]

Вопрос закрыт, тут определения в лекциях перепутались.