"Задача, взятая с потолка" (Д/Г, плоские кривые)

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #130717 писал(а):

$$\left(\frac{d\rho}{dt}\right)^2+\rho^2(t)=(Ct+C_1)^2$$

Теорема Пифагора? (Пишу не думая, жара)

Добавлено спустя 9 минут 23 секунды:

Эрих Камке писал(а):

1.370. $y'^2+y^2=f^2(x)$.
Это уравнение может быть сведено к уравнению Абеля. Полагая $y=f\sin u(x)$, получаем уравнение типа 1.202...

рассмотрим несколько иное уравнение:
$\rho'^2+\rho^2=kt$, $\rho(0)=0$, $k=Const$
и исследуем случаи $t \to 0$, $t \to \infty$
1) $\rho(\phi) \approx \frac {2 \sqrt k} {3} \phi^{3/2}$
2) для больших углов получается
$\rho= \sqrt {k \phi}=\sqrt k \phi^{1/2}$
т.е насколько пониманию начинаем от спирали ( не нашел чьей, ???) и переходим в спираль Ферма. Можно ли доказать, что показатель степени монотонно убывает от $3/2$ до $1/2$ для кривой представляемой указанным дифф ур ?

-- Чт сен 23, 2010 21:03:26 --

для уравнения $\rho'^2+\rho^2=(kt)^2$, $\rho(0)=0$, $k=Const$

начинаем от спирали Галилея ( $t \to 0$) и переходим в спираль Архимеда ($t \to \infty$).
можно ли также доказать, что показатель степени будет меняться монотонно от
$2$ ( спираль Галилея) до $1$ ( спираль Архимеда)?

-- Чт сен 23, 2010 21:06:05 --

$\rho=\phi^{\alpha}$, $\alpha(t)=2...1$

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #355565 писал(а):

рассмотрим несколько иное уравнение:
$\rho'^2+\rho^2=kt$, $\rho(0)=0$, $k=Const$
и исследуем случаи $t \to 0$, $t \to \infty$
1) $\rho(\phi) \approx \frac {2 \sqrt k} {3} \phi^{3/2}$
2) для больших углов получается
$\rho= \sqrt {k \phi}=\sqrt k \phi^{1/2}$

e7e5,
читать Вас лично мне трудно.
Вы апеллируете к какому-то уравнению, содержащему $\rho,t$; а решение формулируете в терминах $\rho,\phi$. Надо бежать, листать старые сообщения, пытаться понять, что как с чем связано.
Вроде какая-то новая задача; её можно и нужно сформулировать без этих ссылок, компактно (self-contained).
Я также не умею с Вашей ловкостию анализировать асимптотику Д.У. Я бы мог перейти к указанным пределам, если бы видел пояснения или решение уравнения. Но как это сделать в самом Д.У. - не знаю. И мозк напрячь не особо получается. О ДУ я обычно беседую через посредство Камки.

Стоило бы написать, что понимается под спиралью Галилея (она не из тех, кого положено помнить наизусть).

e7e5 в сообщении #355565 писал(а):

$\rho=\phi^{\alpha}$, $\alpha(t)=2...1$

А здесь и ро, и фи, и тэ... Непонятно...

[AKM]

Хвост темы http://dxdy.ru/post195229.html#p195229 отделяется и переносится в Карантин.
Автору предлагается поработать над формулировкой задачи (и заголовком) в свете высказанных рекомендаций. Наверное, следует отредактировать первое сообщение.