предел степени матрицы A^n при n к бесконечности

[Spook]

Найти необходимое и достаточное условие на матрицу $A$ для того, чтобы существовал $\lim\limits_{n \to \infty} A^n$.

[ИСН]

Все собственные числа должны...

[Хорхе]

Боюсь, что собственных чисел мало: $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$. Впрочем, думать надо именно туда.

[ИСН]

Ах да. А если несколько из них - - -, то ещё и - - -

[ewert]

(подключаясь к игре) Они все должны быть или -- или. Причём в случае первого "или" это и всё, а в случае второго надо ещё кое-что.

Короче: ответ -- очевиден, а смысл вопроса -- совершенно непонятен.

[Spook]

Про собственные числа не понял. В книжке Прасолова нашел про то, что если представить матрицу в жордановой форме, то можно удобнее возвести в степень. Потом нашел формулу для возведения в степень жордановой клетки в учебнике Глухова. Получается, нужно, чтобы характеристический многочлен раскладывался на множители в нужном поле?

Вот еще нашел topic21758.html. Но тут так быстро не разобраться. А на первый взгляд кажется, что нужно считать предел синуса, который не существует.

[Null]

Минимальный многочлен имеет все корни по модулю меньше 1, и, может быть, еще один(с учетом кратности) корень равный 1

[Spook]

Да, у нас же предел, тогда, действительно, нужно, чтобы собственные числа были не больше единицы по модулю. Видимо, это и есть ответ.

[Null]

У матрицы $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ собственные значения 1, и тем не менее последовательность разойдется

[Spook]

Понял. Нужно потребовать еще порядок клетки равный 1, для каждого собственного числа, равного 1. Остальные собственные числа по модулю должны быть меньше 1. Вроде теперь точно все.

Встретил фразу "характеристический многочлен раскладывается над полем на линейные множители" в параграфе про Жорданову форму. Как понять "линейные множители"?

[Хорхе]

Как-то не очень хочется ЖНФ в этой задаче искать. Посему мой критерий такой:
1) корни $\chi_A$ лежат в $\{|z|<1\}\cup\{1\}$
2) если $\chi_A(1)=0$, то $\chi_{A^2}(1)\neq 0$.

[ewert]

Хорхе в сообщении #356876 писал(а):

2) если $\chi_A(1)=0$, то $\chi_{A^2}(1)\neq 0$.

Не понял. Во-первых: кто такой "хи"? Во-вторых, это не важно: от возведения в степень единица не перестанет быть корнем.

[Null]

Что-то 2рой пункт странный. По-моему $\chi_A(1)=0 => \chi_{A^2}(1)= 0$
Хи обычно характеристический многочлен
Опередили.

[Хорхе]

Да, глупость написал. Похоже, все-таки надо считать ранги или решать слр.

[ewert]

Хорхе в сообщении #356902 писал(а):

Похоже, все-таки надо считать ранги или решать слр.

Ну, ранги, или жорданова форма, или минимальный многочлен (как у Null) -- это всё с точки зрения формулировки критерия примерно одно и то же. Наиболее естественная формулировка -- в терминах жордановой формы, а если про ранги, то лучше (короче всего) так: "алгебраическая кратность единицы совпадает с её геометрической кратностью". Впрочем, всё это дело вкуса.

Spook в сообщении #356794 писал(а):

Встретил фразу "характеристический многочлен раскладывается над полем на линейные множители" в параграфе про Жорданову форму. Как понять "линейные множители"?

Как множители вида $(\lambda-\lambda_k)$. Без контекста трудно сказать, о чём речь. Скорее всего, имелось в виду: чтобы можно было получить жорданову форму, надо, чтобы характеристический многочлен на такие множители и впрямь раскладывался (скажем, в поле вещественных чисел это вовсе не гарантировано).