Вероятность появления чисел

[Busy_Beaver]

На бесконечном компьютерном мониторе при нажатии клавиши "enter" появляются натуральные числа. Число 1 появляется с вероятностью 1/2, число 2 - с вероятностью 1/4, число 3 - с вероятностью 1/8, число n - с вероятностью $1/(2^n)$.
Какова вероятность того, что при нажатии клавиши "enter" не появится ни одного числа?

[EtCetera]

$1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}=0$?

[Хорхе]

Вероятность этого события не определена условием задачи.

[zhoraster]

Ничего олимпиадного не вижу. Как и содержательного.
Тема отправляется в Пургаторий.

[AD]

Не, мы тут, по-моему, массово не правильно условие поняли. Я тоже сначала неправильно понял, но потом вроде вчитался.

Кнопка нажимается один раз, и имеется бесконечно много пронумерованных ячеек, в которых одновременно и независимо появляются или не появляются числа. То есть речь идёт о сходящемся-к-чему-то-разумному произведении

$$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac1{2^n}\right)$$

Можно я верну пока?

(Оффтоп)

З.З.Ы. Так и представляю сейчас в дискуссионных темах - "За минуту до полудня модератор сносит тему в пургаторий, за полминуты до полудня другой модератор возвращает обратно, ..."

З.З.Ы. Тоже хочу такой монитор

[zhoraster]

Да, видимо, условие такое (так, по крайней мере, условие есть).
Впрочем, олимпиадной она не стала.

Тема перемещена в учебный раздел.

[Padawan]

А в задаче не сказано, что эти появления независимы

[Alexey1]

Если на экране после нажатия клавиши, появляется только одно число, то $\Omega=\{i|i \in \mathbb N \backslash \{0\}\}$, $P(\omega=i)=\frac{1}{2^i}$. Событие, что "при нажатии клавиши, не появится ни одного числа" это событие $\bar \Omega=\Omega \backslash \Omega=\varnothing$, так как мера $P$ является вероятностной, то $P(\varnothing)=0$.
Если следовать трактовке AD, то надо добавить, что в каждой ячейке может появиться или не появиться её номер.
Если же в каждой ячейке может появиться любое число, то $\Omega = \{\omega : \omega = (a_1,...,a_n,...), a_i \in \mathbb N\}$. Так как пространство $\Omega$ несчётно, то задавать вероятность для каждого $\omega$ нельзя. Но в такой трактовке, событие "при нажатии клавиши, на мониторе не появиться ни одного числа" это невозможное событие, поэтому $P(\varnothing)=0$.