Уравнение четвёртой степени

[physchemist]

Здравствуйте, господа математики!

Уравнение
$x^4+Ax^3+Bx^2 + Cx + D = 0$
и соответствующее ему неполное уравнение
$y^4 + ay^2 + by + c = 0$
имеет 4 вещественных корня только тогда, когда выполняются условия
\begin{cases} \Delta > 0; \\ a < 0; \\ a^2 - 4c > 0; \end{cases}
где \Delta - дискриминант кубической резольвенты
$z^3 +2az^2 + (a^2-4c)z - b^2 = 0.$
Но если все 4 корня вещественны, то возможны следующие комбинации их знаков (если не считать нули):
1) - - - -
2) + + + +
3) - - - +
4) + + + -
5) + + - -
Вопрос: можно ли (и как), основываясь на соотношениях между коэффициентами исходного уравнения, отделить первые четыре случая от последнего (нужно исключить последний случай)? Т.е. уравнение должно иметь 4 действительных корня, но не менее трёх из них должны быть одного знака. [Если бы меня устраивал только случай, когда ровно три корня имеют одинаковый знак, то понятно, что для отделения этого случая достаточно было бы (в дополнение к условиям приведённой выше системы) потребовать отрицательности свободного члена в исходном, полном уравнении 4-й степени.]

[Cash]

Теорема Штурма

[physchemist]

Я имел в виду аналитическое решение - мне нужно записать условия подобно той системе, которая приведена в исходном сообщении (добавить в неё, скажем, ещё несколько неравенств). Не совсем понимаю, как мне в этом поможет Штурм. Допустим, построю я этот ряд, посчитаю разность чисел перемен знаков в нём в точках с нулевой и достаточно большой, скажем, положительной абсциссой. Тем самым я определю количество корней на положительной полуоси. Меня устраивают случаи, когда положительных корней 1, 3 или 4. И?

[Cash]

Если применять теорему Штурма, описанная выше система не понадобится.
Считаете число перемен знаков в ряде Штурма в точках $-\infty, 0, +\infty$ и получаем число корней на
$(-\infty;+\infty)$ и $(0;+\infty)$ (4 и 2 соответственно). Но это, возможно, действительно из пушки по воробьям, когда нам нужно определить всего лишь знаки корней.

Можно рассмотреть такой подход: положительность свободного члена и существование ровно одного положительного корня у производной (при условии 4-х корней этого достаточно)

-- Чт сен 23, 2010 13:22:45 --

Хотя, если честно, с помощью Штурма мне нравится больше. Если выписать соответствующий ряд, значения в указанных точках определяются знаками старшего коэффициента (на бесконечности) или свободного члена (в нуле)

[physchemist]

Cash в сообщении #355399 писал(а):

Если применять теорему Штурма, описанная выше система не понадобится.

Это понятно, но мне неизвестны конкретные значения коэффициентов уравнения. Мне, наоборот, нужно получить условия, которым должны эти коэффициенты удовлетворять, чтобы реализовывались интересующие меня случаи.

Cash в сообщении #355399 писал(а):

Можно рассмотреть такой подход: положительность свободного члена и существование положительного корня у производной

Хм... Можно подробнее? Это условие реализации случая 5 (который мне нужно отбросить)?

[Cash]

Нарисовав график - видим, что случай 2-х положительных и 2-х отрицательных корней реализуется, когда значение в нуле больше $0$ и имеется ровно один локальный минимум в положительной области

-- Чт сен 23, 2010 13:52:19 --

Цитата:

Это понятно, но мне неизвестны конкретные значения коэффициентов уравнения. Мне, наоборот, нужно получить условия, которым должны эти коэффициенты удовлетворять, чтобы реализовывались интересующие меня случаи

Можно честно выписать и в общем случае. Всего-то 2 раза многочлен с остатком поделить.

[physchemist]

Cash в сообщении #355407 писал(а):

ровно один локальный минимум в положительной области

Т.е. надо найти условия, при котором производная (кубический многочлен) имеет только один положительный корень. Насчёт выделения этого случая из остальных ничего умного в голову не приходит.

Cash в сообщении #355407 писал(а):

Можно честно выписать и в общем случае. Всего-то 2 раза многочлен с остатком поделить.

Почему 2?
У меня получается следующий ряд:

$f_0 = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D;$
$f_1 = 4x^3 + 3Ax^2 + 2Bx + C;$
$f_2 = (3A^2-8B)x^2 + 2(AB-6C)x + AC - 16D;$
$f_3 = \alpha x + \beta;$
$f_4 = \gamma.$

В $f_2$ выброшен положительный множитель, коэффициенты $\alpha..\gamma$ не привожу ввиду их громоздкости.
Теперь попытаюсь порассуждать. Поставим, например, условие, чтобы не менее трёх корней исходного уравнения были одинакового знака (для определённости пусть будут отрицательными). Для этого уравнение, по крайней мере, должно иметь 4 действительных корня, т.е. разность чисел перемен знаков $N$в ряду при $-\infty$ и $+\infty$ должна быть равна четырём. Но в случае пяти членов ряда такое возможно только в случае, когда $N(-\infty)=4$ и $N(+\infty$) = 0. Первые два члена ряда на $-\infty$ гарантированно дают одну перемену знака; следовательно, для наличия 4-х действительных корней достаточно потребовать
$ \begin{cases} 3A^2 - 8B > 0;\\ \alpha > 0;\\ \gamma > 0. \end{cases} $
Тогда, если дополнительно к этому потребовать
$sgn(D) = sgn(C) = sgn(AC - 16D) = sgn(\beta) = sgn(\gamma),$
то будет 4 отрицательных корня.
3 отрицательных корня будет, если
$sgn(D) = -sgn(C)$ или $sgn(C) = -sgn(AC - 16D)$ или $sgn(AC - 16D) = -sgn(\beta)$ или $sgn(\beta) = -sgn(\gamma)$
(т.е. если выполняется одно и ТОЛЬКО одно из этих условий).

Тут ничего нельзя упростить? Кстати, тут не учтена возможность наличия кратных корней.