Sequences

[ins-]

There are two sequences a_n and b_n
a_n = \begin{cases}a \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cyr{for}\ n = 0 \\ \frac {a_{n - 1} + b_{n - 1}}{2}\ \ \ \cyr{for}\ n\geq1\end{cases} and b_n = \begin{cases}b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cyr{for}\ n = 0 \\ \sqrt {a_{n - 1}b_{n - 1}} \ \ \ \ \cyr{for}\ n\geq1\end{cases}
a) Prove that sequences converges.
b) If their limits are \alpha и \beta, find:
\lim_{n\to\infty }(a_1 + a_2 + ... + a_n - n\alpha) и \lim_{n \to \infty }(b_1 + b_2 + ... + b_n - n\beta)

[maxal]

Во-первых, если делате перепост задачи с другого форума, то указывайте источник. В данном случае - это: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=301803

Во-вторых, предел в a) называется арифметико-геометрическим средним:
http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic ... cMean.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic-geometric_mean

[ins-]

I'm the author of both posts you mentioned. I posted the problem in these forums
because I want to see more opinions. To be more correct the source of the problem
is a bulgarian math magazine "Mathematical Forum". It is the first problem ever
published in this magazine. The magazine is 10 years old and b) part is not solved.
I'm curious to see the solution. It is the reason to post it in 3 math forums.
The founder of the magazine said me the problem is inspired from Euler and Gauss works.
Of course it is not impossible the problem to be solved but probably the solution will be interesting.

[Sasha2]

И плюс к тому эти последовательности очень подробно разобраны уже в первом томе Фихтенгольца, так что это весьма заурядный пример для первокурсников, изучающих матанализ. В начале второго тома их пределы считаются явно, а второй пункт данного задания вероятно легко одолевается теоремой Штольца.

[ins-]

Can you be more detailed?

[Sasha2]

А чего тут деталить то
Берем первый том Фихтенгольца, открываем его на стр. 84 и читаем пример 4) из пункта 35.
Далее берем второй том Фихтенгольца, открываем его на стр. 155 и внимательно читаем пункт 315, разбирая все преобразования, приведенные в этом пункте.

[ins-]

Фихтенгольца - I haven't seen that book. I know solution for a). I haven't seen solution for b).

[Sasha2]

Ну что Вы Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисление". Этот трех томник из разряда "It the must".

[ins-]

I finished University of National and World Economy and we haven't used that book. Instead I saw good Bulgarian calculus books that probably aren't available in Russia.

[Sasha2]

Всего есть три книги на свете:
1) Начала Евклида
2) Курс Эйлера по дифференциальному и интегральному исчислению
3) Трехтомник Фихтенгольца.

Более лучших книг до сих пор человечество еще не написало.

[Padawan]

А "Капитал" К. Маркса ?

[ins-]

Sasha2 I found "Трехтомник Фихтенгольца" as pdf file but I think that page numbers aren't the same.
Can you write detailed solution?

[gris]

Доказательство не так и сложно и почти очевидно.
Для равных чисел ясно.
Для неравных (по умолчанию они оба положительны) среднее арифметическое больше среднего геометрического.
Поэтому можно считать, что первое число больше второго. А потом первая последовательность монотонно убывает, а вторая монотонно возрастает.
Вот и конвергенция. А потом переход к пределу в любом равенстве.
Вообще скорость сходимости поражает. Интересно, это используется?

[ins-]

www.technion.ac.il/~tamarzr/agm-talk.pdf
a) part is proved here and in mathlinks, also in the magazine I have. It is well known.
for b) part I have no idea. In the future they said it will be published in the magazine
but I'm interested to see it. I think it is a beautiful calculus problem.

[Sasha2]

If the case like this (with pages mismatched), then you may find the needed information referrintg to the points in this book stated hereabove.